Initiation à l'arithmétique/Exercices/Sujets de brevet

Exercice 1

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au Brevet Série Collège - juin 2000.

1. Calculer le P.G.C.D. de 114400 et 60775.

Solution

114400 = 60775 × 1 + 53625

60775 = 53625 × 1 + 7150

53625 = 7150 × 7 + 3575

7150 = 3575 × 2 + 0

Le PGCD de 114400 et 60775 est 3575.

2. Donner l'écriture simplifiée de ${\frac {114400}{60775}}$ .

Solution

${\frac {114400}{60775}}={\frac {3575\times 32}{3575\times 17}}={\frac {32}{17}}$

Exercice 2

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au Brevet Série Collège - juin 2000.

1. Calculer le PGCD de 110 et de 88.

Solution

110 = 2 × 5 × 11

88 = 2 × 2 × 2 × 11

le PGCD de 110 et 88 est égal à 2 × 11, soit 22.

2. Un ouvrier dispose de plaques de métal de 110 cm de longueur et de 88 cm de largeur. Il a reçu la consigne suivante : « Découper dans ces plaques des carrés tous identiques, les plus grands possibles, de façon à ne pas avoir de perte. »

a. Quelle sera la longueur du côté d'un carré ?

Solution

La longueur du côté du carré sera égale au PGCD de 110 et 88 c'est-à-dire 22 cm.

b. Combien obtiendra t-il de carrés par plaque ?

Solution

On obtient ainsi 4 rangées de 5 carrés soit 20 carrés par plaques.

Exercice 3

Écrire sous forme de fraction irréductible le nombre ${\frac {325}{1053}}$ .

Solution

325 = 25 × 13

1053 = 81 × 13

${\frac {325}{1053}}$ = ${\frac {25}{81}}$ .

Exercice 4

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au Brevet Série Collège - juin 2001.

1. Déterminer le PGCD des nombres 108 et 135.

Solution

On a 135 = 108 + 27

108 = 27 × 4

donc PGCD (135,108) = 27.

2. Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires.

Il veut faire des paquets de sorte que :

tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges,
tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires,
toutes les billes rouges et toutes les billes noires soient utilisées.

a. Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il réaliser ?

Solution

Il pourra donc faire 27 paquets au maximum.

b. Combien y aura-t- il alors de billes rouges et de billes noires dans chaque paquet ?

Solution

Il y aura par paquet :

4 billes rouges (108 = 4 x 27)

et 5 billes noires (135 = 5 x 27).

Exercice 5

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au Brevet Série Collège - juin 2001.

1. Donner l'égalité traduisant la division euclidienne de 1512 par 21.

Solution

1512 = 21 × 72

2. Rendre irréductible la fraction ${\frac {720}{1512}}$ .

Solution

${\frac {720}{1512}}$ = ${\frac {72\times 10}{72\times 21}}$ = ${\frac {10}{21}}$

Exercice 6

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au Brevet Série Collège - juin 2003.

Calculer le PGCD des nombres 1183 et 455 en précisant la méthode utilisée.

Solution

Calcul du PGCD de 1183 et 455 en utilisant successivement la division euclidienne :

1183 = 2 × 455 + 273

455 = 1 × 273 + 182

273 = 1 × 182+ 91

182 = 2 × 91. Comme le reste est 0, alors le PGCD de 1183 et 455 est 91.

Écrire sous la forme irréductible la fraction ${\frac {1183}{455}}$ (on indiquera le détail des calculs).

Solution

${\frac {1183}{455}}$ = ${\frac {91\times 13}{91\times 5}}$ = ${\frac {13}{5}}$

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