Initiation à l'arithmétique/Exercices/Nombres premiers

Exercice 1

a) Décomposer 118 et 177 en produits de facteurs premiers puis,

après réduction au même dénominateur, calculer :

{\frac {15}{118}}+{\frac {11}{177}}

.

b) De même avec :

{\frac {2}{75}}-{\frac {3}{50}}

.

c) De même avec :

{\frac {1}{56}}-{\frac {3}{49}}+{\frac {5}{42}}

.

Solution

a) 118 = 2 × 59 et 177 = 3 × 59. Le plus petit dénominateur commun est 2 × 3 × 59 = 3 × 118 = 2 × 177.

{\frac {15}{118}}+{\frac {11}{177}}={\frac {15\times 3}{118\times 3}}+{\frac {11\times 2}{177\times 2}}={\frac {45+22}{354}}={\frac {67}{354}}\approx 0{,}19

.

b) 75 = 3 × 25 et 50 = 2 × 25.

{\frac {2}{75}}-{\frac {3}{50}}={\frac {2\times 2}{2\times 75}}-{\frac {3\times 3}{3\times 50}}={\frac {4-9}{150}}=-{\frac {5}{150}}=-{\frac {1}{30}}\approx -0{,}33

.

c) 56 = 7 × 8, 49 = 7 × 7 et 42 = 7 × 6.

{\frac {1}{56}}-{\frac {3}{49}}+{\frac {5}{42}}={\frac {21}{56\times 21}}-{\frac {3\times 24}{49\times 24}}+{\frac {5\times 28}{42\times 28}}={\frac {21-72+140}{1176}}={\frac {89}{1176}}\approx 0{,}076

.

Exercice 2

a) Décomposer 210 en produits de facteurs premiers.

b) Calculer en réduisant au même dénominateur puis en simplifiant :

{\frac {17}{42}}+{\frac {13}{210}}-{\frac {31}{105}}

.

Solution

a) 210 = 2 × 3 × 5 × 7.

b) ${\frac {17}{42}}+{\frac {13}{210}}-{\frac {31}{105}}={\frac {17\times 5}{42\times 5}}+{\frac {13}{210}}-{\frac {31\times 2}{105\times 2}}={\frac {85+13-62}{210}}={\frac {36}{210}}={\frac {6}{35}}\approx 0{,}17$ .

Exercice 3

a) Décomposer 45 et 210 en produits de facteurs premiers.

b) Calculer en choisissant le plus petit dénominateur commun possible puis simplifier :

{\frac {17}{30}}-{\frac {13}{210}}+{\frac {31}{45}}

.

Solution

a) 45 = 3² × 5 et 210 = 2 × 3 × 5 × 7.

b) ${\frac {17}{30}}-{\frac {13}{210}}+{\frac {31}{45}}={\frac {17\times 21}{30\times 21}}-{\frac {13\times 3}{210\times 3}}+{\frac {31\times 14}{45\times 14}}={\frac {357-39+434}{630}}={\frac {752}{630}}={\frac {376}{315}}\approx 1{,}19$ .

Exercice 4

a) Calculer à la calculatrice ${\frac {27}{20000}}$ et ${\frac {5\times 10^{6}}{3703703703}}$ . Qu'observe-t-on ?

Solution

On trouve 0.00135 pour les deux.

b) Démontrer que ces deux nombres sont distincts.

Solution

$27\times 3703703703$ est impair donc différent de $20000\times 5\times 10^{6}$ (en fait, le second est égal à $10^{11}$ et le premier un peu moins : 99 999 999 981).

Exercice 5

a) Décomposer 36 et 52 en produit de facteurs premiers.

Solution

36 = 2² × 3² et 52 = 2² × 13.

b) Donner toutes les tailles entières possibles, en dm de côté, de dalles carrées identiques permettant de carreler une pièce rectangulaire de 3,60 m sur 5,20 m.

Indiquer dans chaque cas le nombre de dalles.

Solution

Les diviseurs communs à 36 et 52 sont les diviseurs de 2². On pourra donc carreler en dalles de côté :

4 dm (3² × 13 = 117 dalles) ;
2 dm (4 × 117 = 468 dalles) ;
1 dm (4 × 468 = 1 872 dalles).

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