< Initiation à l'arithmétique
Qu’est ce que l'arithmétique ?
Ce nom vient du grec arithmos qui signifie « nombre ». L'arithmétique est la science des propriétés des nombres entiers.
Diviseurs et multiples
Définition
Un entier a est divisible par un autre entier b s'il existe un entier q tel que :
- a = b×q.
On note alors
- b | a,
et l'on dit que
- b divise a, ou que
- b est un diviseur de a, et
- a est un multiple de b.
Exemple 1
3 et 7 sont des diviseurs de 21.
21 est divisible par 7 et par 3.
21 est un multiple de 3 et de 7. C'est donc un multiple commun de 3 et 7.
Exemple 2
7 est un diviseur de 28 et de 35. C'est donc un diviseur commun de 28 et 35.
Remarques
- Tout entier a est divisible par lui-même et par 1
- car a = a×1 = 1×a.
- Si b divise a et c divise b, alors c divise a
- car si a = b×x et b = c×y alors a = c×(x×y).
- 0 est divisible par tout entier a
- car 0 = a×0.
- Le seul multiple de 0 est 0
- car 0×x = 0.
Critères de divisibilité
Un nombre est divisible :
- par 2 lorsque son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 ;
- par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3 ;
- par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5 ;
- par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9 ;
- par 10 lorsque son chiffre des unités est 0.
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