Par hypothèse :

1. ${\displaystyle \forall u,v\in \mathbb {R} \quad \left(u\leq v\Rightarrow f\circ f(u)\leq f\circ f(v)\right)}$ ;
2. ${\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {R} \quad \left(x<y\Rightarrow f\circ f\circ f(x)>f\circ f\circ f(y)\right)}$.

Soient ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ tels que ${\displaystyle x<y}$. Posons ${\displaystyle u=f(x)}$ et ${\displaystyle v=f(y)}$.

D'après 2, ${\displaystyle f\circ f(u)>f\circ f(v)}$.

Par contraposition de 1, on en déduit : ${\displaystyle u>v}$.

On a donc bien :

${\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {R} \quad \left(x<y\Rightarrow f(x)>f(y)\right)}$.

Pour tous ${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {R} }$, on a :

1. ${\displaystyle f(x)\neq f(y)\Rightarrow g(x)=g(y)}$ ;
2. ${\displaystyle g(z)\neq g(x)\Rightarrow f(z)=f(x)}$ ;
3. ${\displaystyle g(z)\neq g(y)\Rightarrow f(z)=f(y)}$.

De 2 et 3 on déduit :

${\displaystyle g(x)=g(y)\Rightarrow \left[g(z)\neq g(x)\Rightarrow f(x)=f(y)\right]}$

ou encore :

${\displaystyle g(x)=g(y)\Rightarrow \left[f(x)\neq f(y)\Rightarrow g(z)=g(x)\right]}$,

c'est-à-dire :

${\displaystyle \left[g(x)=g(y){\text{ et }}f(x)\neq f(y)\right]\Rightarrow g(z)=g(x)}$

donc avec 1 :

${\displaystyle f(x)\neq f(y)\Rightarrow g(z)=g(x)}$.

Par conséquent, si ${\displaystyle f}$ n'est pas constante alors ${\displaystyle g}$ l'est.