À quoi sert une identité remarquable ?

Les identités remarquables sont des raccourcis pour développer ou factoriser. En troisième, on en voit seulement trois différentes, mais il en existe d’autres….

La première identité remarquable

Soient a et b deux nombres quelconques, calculons ${\displaystyle (a+b)^{2}}$.

${\displaystyle (a+b)^{2}=(a+b)\times (a+b)=a\times a+a\times b+b\times a+b\times b=a^{2}+2ab+b^{2}}$

Première identité remarquable

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$

La deuxième identité remarquable

Soient a et b deux nombres quelconques, calculons ${\displaystyle (a-b)^{2}}$.

${\displaystyle (a-b)^{2}=(a-b)\times (a-b)=a\times a-a\times b-b\times a+b\times b=a^{2}-2ab+b^{2}}$

Deuxième identité remarquable

${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$

La troisième identité remarquable

Soient a et b deux nombres quelconques, calculons ${\displaystyle (a-b)(a+b)}$.

${\displaystyle (a-b)(a+b)=a\times a+a\times b-b\times a-b\times b=a^{2}-b^{2}}$

Troisième identité remarquable

${\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}}$

Factoriser avec la première identité remarquable

Exemple : soit à factoriser l’expression ${\displaystyle x^{2}+4x+4}$.

L’expression comporte trois termes, uniquement des additions, on utilise donc la première identité.

Ici ${\displaystyle a^{2}=x^{2}}$ donc ${\displaystyle a=x}$ ; ${\displaystyle b^{2}=4}$ donc ${\displaystyle b=2}$

Finalement,

${\displaystyle x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}}$

Factoriser en utilisant la deuxième identité remarquable

Exemple : Soit à factoriser l’expression ${\displaystyle x^{2}-14x+49}$

L’expression comporte 3 termes, avec une soustraction, on utilise donc la deuxième identité remarquable.

Ici ${\displaystyle a^{2}=x^{2}}$ donc ${\displaystyle a=x}$ ; ${\displaystyle b^{2}=49}$ donc ${\displaystyle b=7}$

Finalement,

${\displaystyle x^{2}-14x+49=(x-7)^{2}}$

Factoriser avec la troisième identité remarquable

Exemple : Soit à factoriser l’expression ${\displaystyle x^{2}-16}$

L’expression comporte 2 termes et c’est une différence, on utilise donc la troisième identité.

Ici ${\displaystyle a^{2}=x^{2}}$ donc ${\displaystyle a=x}$ ; ${\displaystyle b^{2}=16}$ donc ${\displaystyle b=4}$

Finalement ,

${\displaystyle x^{2}-16=(x+4)\times (x-4)}$

Factoriser en trouvant un facteur commun

Parfois, l’expression à factoriser n’est pas une identité remarquable. Il ne reste plus qu’à revenir à la distributivité simple, en espérant trouver un facteur commun.

Exemple : Soit à factoriser l’expression ${\displaystyle 5(x+3)+(x+4)(x+3)}$

Le facteur commun est ${\displaystyle (x+3)}$.

Finalement,

${\displaystyle 5(x+3)+(x+4)(x+3)=(5+(x+4))\times (x+3)=(x+9)\times (x+3)}$