Fractions rationnelles/Décomposition en éléments simples dans R

Décomposition en éléments simples dans les réels

Principes généraux

Les polynômes irréductibles à coefficients réels sont du premier ou du second degré.

Théorème

Soit $F={\frac {P}{Q}}$ irréductible, alors si Q admet la factorisation $Q(x)=(x-z_{1})^{n_{1}}(x-z_{2})^{n_{2}}...(x-z_{p})^{n_{p}}(x^{2}-\beta _{1}x+\gamma _{1})^{m_{1}}(x^{2}-\beta _{2}x+\gamma _{2})^{m_{2}}...(x^{2}-\beta _{q}x+\gamma _{q})^{m_{q}}$ où les polynômes $x^{2}-\beta _{g}x+\gamma _{g}$ n’ont pas de racine réelle ( $\Delta$ négatif ) alors F admet la décomposition unique en éléments simples suivante

F(x)={\begin{array}{l}T+{\frac {a_{11}}{(x-z_{1})}}+{\frac {a_{12}}{(x-z_{1})^{2}}}+...+{\frac {a_{1n_{1}}}{(x-z_{1})^{n_{1}}}}\\+\cdots \\+{\frac {a_{p1}}{(x-z_{p})}}+{\frac {a_{p2}}{(x-z_{p})^{2}}}+...+{\frac {a_{pn_{p}}}{(x-z_{p})^{n_{p}}}}\\+{\frac {b_{11}x+c_{11}}{(x^{2}-\beta _{1}x+\gamma _{1})}}+{\frac {b_{12}x+c_{12}}{(x^{2}-\beta _{1}x+\gamma _{1})^{2}}}+...+{\frac {b_{1m_{1}}x+c_{1m_{1}}}{(x^{2}-\beta _{1}x+\gamma _{1})^{m_{1}}}}\\+...\\+{\frac {b_{q1}x+c_{q1}}{(x^{2}-\beta _{q}x+\gamma _{q})}}+{\frac {b_{q2}x+c_{q2}}{(x^{2}-\beta _{q}x+\gamma _{q})^{2}}}+...+{\frac {b_{qm_{q}}x+c_{qm_{q}}}{(x^{2}-\beta _{q}x+\gamma _{q})^{m_{q}}}}\end{array}}

où les $a_{ij}$ , $b_{gl}$ et $c_{gl}$ sont des nombres réels.

Exemples de décompositions

Les méthodes de décomposition dans le cas où Q est un produit de facteurs du premier degré ont été étudiées dans la section précédente. Il ne reste donc plus qu’à traiter des exemples où Q comporte un ou plusieurs facteurs irréductibles du second degré.

Existence d'un facteur irréductible du second degré

Pour décomposer

{10x^{2}+12x+20 \over x^{3}-8}

en éléments simples, observons d’abord

x^{3}-8=(x-2)(x^{2}+2x+4)

.

Le fait que x² + 2x + 4 ne soit pas factorisable en utilisant des coefficients réels est visible car le discriminant, 2² − 4(1)(4), est négatif. Nous cherchons donc des scalaires A, B, C tels que

{10x^{2}+12x+20 \over x^{3}-8}={10x^{2}+12x+20 \over (x-2)(x^{2}+2x+4)}={A \over x-2}+{Bx+C \over x^{2}+2x+4}

.

Les différentes étapes sont :

En multipliant par $x-2$ il vient :
${\frac {(x-2)(10x^{2}+12x+20)}{(x-2)(x^{2}+2x+4)}}=(x-2){\frac {A}{x-2}}+(x-2){\frac {Bx+C}{x^{2}+2x+4}}$ ,

soit :

${\frac {10x^{2}+12x+20}{x^{2}+2x+4}}=A+(x-2){\frac {Bx+C}{x^{2}+2x+4}}$ .
En posant $x=2$ :
${\frac {10.2^{2}+12.2+20}{2^{2}+2.2+4}}=A+(2-2){\frac {Bx+C}{2^{2}+2.2+4}}$ ,

soit : $7=A$ .
En remplaçant $A$ par $7$ et en posant $x=0$ , il vient :
${\frac {10x^{2}+12x+20}{(x^{2}+2x+4)(x-2)}}={\frac {7}{x-2}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+2x+4}}$ ,

soit : $C=4$ .
En remplaçant $A$ par $7$ , $C$ par $4$ et en posant $x=1$ :
${\frac {10.1^{2}+12.1+20}{1^{2}+2.1+4}}={\frac {7}{1-2}}+{\frac {B.1+4}{1^{2}+2.1+4}}$ ,

soit : $B=3$ .
La décomposition en éléments simples réels est donc :
${10x^{2}+12x+20 \over x^{3}-8}={7 \over x-2}+{3x+4 \over x^{2}+2x+4}$ .

Passage par les complexes

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Répétition d'un facteur irréductible du second degré

Décomposons ${25 \over (x+2)(x^{2}+1)^{2}}$ .

Avec le facteur irréductible du second degré x² + 1 au dénominateur, la décomposition en éléments simples sera de la forme

{A \over x+2}+{Bx+C \over x^{2}+1}+{Dx+E \over (x^{2}+1)^{2}}

.

La détermination de A se fait en multipliant par $x+2$ et en prenant x = -2. On obtient A = 1. On peut alors écrire

F(x)={\frac {1}{x+2}}+{\frac {R(x)}{(x^{2}+1)^{2}}}

,

ce qui donne

{\frac {R(x)}{(x^{2}+1)^{2}}}={25 \over (x+2)(x^{2}+1)^{2}}-{\frac {1}{x+2}}=\cdots ={\dfrac {-x^{3}+2x^{2}-6x+12}{(x^{2}+1)^{2}}}

.

En remplaçant $x^{2}+1$ par y, c'est-à-dire $x^{2}$ par $y-1$ :

{\frac {R(x)}{(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {-xy+x+2y-2-6x+12}{y^{2}}}={\frac {-x+2}{y}}+{\frac {-5x+10}{y^{2}}}={\frac {-x+2}{x^{2}+1}}+{\frac {-5x+10}{(x^{2}+1)^{2}}}

.

La décomposition finale est donc

{25 \over (x+2)(x^{2}+1)^{2}}={\frac {1}{x+2}}+{\frac {-x+2}{x^{2}+1}}+{\frac {-5x+10}{(x^{2}+1)^{2}}}

.

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