${\displaystyle x\equiv \pi -3x{\text{ ou }}3x\mod 2\pi \Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{4}}\mod {\frac {\pi }{2}}{\text{ ou }}0\mod \pi }$.

${\displaystyle \sin x=0{\text{ ou }}\cos x={\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv 0\mod \pi {\text{ ou }}\pm {\frac {\pi }{3}}\mod 2\pi }$.

Voir Trigonométrie/Équations et inéquations trigonométriques#Cas général : cette équation a des solutions si et seulement si ${\displaystyle \left(3m-1\right)^{2}\leq m^{2}+1}$, c'est-à-dire ${\displaystyle 0\leq m\leq {\frac {3}{4}}}$ et dans ce cas, les solutions sont ${\displaystyle \arccos {\frac {m}{\sqrt {m^{2}+1}}}\pm \arccos {\frac {1-3m}{\sqrt {m^{2}+1}}}\mod 2\pi }$.

${\displaystyle \cos x\geq 0{\text{ et }}\sin x=2\left(\cos ^{2}x-1\right)\Leftrightarrow \cos x\geq 0{\text{ et }}\sin x=0{\text{ ou }}-{\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv 0{\text{ ou }}-{\frac {\pi }{6}}\mod 2\pi }$.

${\displaystyle 5x\equiv {\frac {\pi }{2}}-x\mod \pi \Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{12}}\mod {\frac {\pi }{6}}}$.

${\displaystyle \tan x\tan 3x=\tan ^{2}x\,{\frac {\cos 2x+2\cos ^{2}x}{\cos 2x-2\sin ^{2}x}}={\frac {1-y}{1+y}}\,{\frac {2y+1}{2y-1}}}$ pour ${\displaystyle y=\cos 2x}$.

${\displaystyle {\frac {1-y}{1+y}}\,{\frac {2y+1}{2y-1}}=-{\frac {1}{3}}\Leftrightarrow y={\frac {1\pm {\sqrt {3}}}{2}}}$.

Les solutions sont donc ${\displaystyle x=\pm {\frac {1}{2}}\arccos {\frac {1-{\sqrt {3}}}{2}}\mod \pi }$.

${\displaystyle t={\frac {{\frac {2t}{1-t^{2}}}-1}{{\frac {2t}{1-t^{2}}}+1}}\Leftrightarrow t=1}$ donc il n'y a pas de solution, car si ${\displaystyle {\frac {x}{2}}\equiv {\frac {\pi }{4}}\mod \pi }$ alors ${\displaystyle \tan x}$ n'est pas défini.

Soit ${\displaystyle S=2\sin x\cos x=\sin 2x}$. Alors,

${\displaystyle \sin ^{4}x+\cos ^{4}x=\left(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x\right)^{2}-2\sin ^{2}x\cos ^{2}x=1-{\frac {S^{2}}{2}}}$

donc

${\displaystyle \sin ^{4}x+\cos ^{4}x=2\sin x\cos x\Leftrightarrow S^{2}+2S-2=0\Leftrightarrow S=-1+{\sqrt {3}}}$

et les solutions sont

${\displaystyle x\equiv {\frac {\alpha }{2}}{\text{ ou }}{\frac {\pi -\alpha }{2}}\mod \pi }$, avec ${\displaystyle \alpha =\arcsin \left(-1+{\sqrt {3}}\right)}$.