Fonctions trigonométriques/Exercices/Problèmes divers

Exercice 11-1

1° Étudier la variation de la fonction $f$ définie par :

f(x)=\cos x-x

.

2° En déduire le nombre des solutions de l'équation définie dans $\mathbb {R}$ par $\cos x=x$ .

3° On considère la suite $(u_{n})_{n\geqslant 0}$ définie par :

u_{n+1}=\cos u_{n}

et

u_{0}=1

.

Montrer que

\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}\in [0,1]

, puis majorer

|u_{n+1}-u_{n}|

par une expression de la forme

M|u_{n}-u_{n-1}|

avec

M<1

.

En déduire que la suite

(u_{n})

converge vers la solution de l'équation définie au 2°.

4° Donner un encadrement de cette solution.

5° Interpréter graphiquement la formation de la suite $(u_{n})$ en utilisant les courbes d'équations respectives $y=x$ et $y=\cos x$ .

6° Donner une valeur approchée à 10^–2 près de la solution de l'équation définie au 2°.

Solution

1° $\lim _{-\infty }f=+\infty$ et $\lim _{+\infty }f=-\infty$ . $f'(x)=-\sin x-1$ est négative et ne s'annule que pour $x\in -{\frac {\pi }{2}}+2\pi \mathbb {Z}$ donc $f$ est strictement décroissante.

2° $f$ s'annule au moins une fois (d'après le théorème des valeurs intermédiaires) et une seule (puisqu'elle est injective).

3° $\cos([0,1])\subset \cos([0,\pi /2])=[0,1]$ donc $u_{n}$ reste dans $[0,1]$ . D'après le théorème des accroissements finis, $|u_{n+1}-u_{n}|\leq M|u_{n}-u_{n-1}|$ pour $M:=\max _{[0,1]}|\cos '|=\sin 1<1$ . Par conséquent, $(u_{n})$ converge et sa limite $x$ vérifie $\cos x=x$ .

4° $0\leq x\leq 1$ .

5° On trace de proche en proche les segments suivants. La droite $x=u_{0}$ coupe le graphe de $\cos$ au point $(u_{0},u_{1})$ . La droite $y=u_{1}$ coupe la droite $y=x$ au point $(u_{1},u_{1})$ . La droite $x=u_{1}$ coupe le graphe de $\cos$ au point $(u_{1},u_{2})$ , etc. On voit se dessiner un « escargot anguleux » et $u_{n}$ est alternativement inférieur et supérieur à sa limite.

6° $u_{9}\approx 0{,}731$ et $u_{10}\approx 0{,}744$ donc $x\approx 0{,}74$ .

Exercice 11-2

On donne :

{\begin{cases}\tan x={\sqrt {2}}-1\\\tan y={\sqrt {2}}+1.\end{cases}}

1° Calculer $\tan 2x$ . En déduire l'ensemble des solutions de l'équation définie dans $\mathbb {R}$ par :

\tan x={\sqrt {2}}-1

.

2° Calculer $\tan(y-x)$ . En déduire l'ensemble des solutions de l’équation définie dans $\mathbb {R}$ par :

\tan y={\sqrt {2}}+1

.

Solution

1° $\tan 2x={\frac {2({\sqrt {2}}-1)}{1-\left({\sqrt {2}}-1\right)^{2}}}=1$ et $\tan x>0$ . L'ensemble des solutions de $\tan x={\sqrt {2}}-1$ est donc ${\frac {\pi }{8}}+\pi \mathbb {Z}$ .

2° $\tan(y-x)={\frac {{\sqrt {2}}+1-\left({\sqrt {2}}-1\right)}{1+\left({\sqrt {2}}+1\right)\left({\sqrt {2}}-1\right)}}=1$ . L'ensemble des solutions de $\tan y={\sqrt {2}}+1$ est donc ${\frac {3\pi }{8}}+\pi \mathbb {Z}$ .

Exercice 11-3

Soient $x,y\in \left]0,{\frac {\pi }{2}}\right[$ définis par

{\begin{cases}\tan x={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\\\tan y={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}.\end{cases}}

Prouvez que $x+y={\frac {\pi }{2}}$ .

Solution

$\tan x\tan y={\frac {\left({\sqrt {5}}+1\right)\left({\sqrt {5}}-1\right)}{4}}=1$ donc $x+y={\frac {\pi }{2}}$ .

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