Fonctions trigonométriques/Exercices/Mouvement vibratoire

Un mouvement rectiligne sera dit vibratoire simple si sa loi horaire est de la forme :

$x(t)=a\cos(\omega t+\varphi )+x_{0}$

Exercice 10-1

Déterminer la loi horaire d'un mouvement rectiligne vibratoire simple sachant que l'origine des abscisses est centre du mouvement, que la période est 4 et que pour $t=2$ , on a $x=-1$ et $v={\frac {\pi }{2}}$ .

Construire les diagrammes du mouvement.

Solution

$x_{0}=0$ , $\omega ={\frac {\pi }{2}}$ et $\cos \varphi =\sin \varphi ={\frac {1}{a}}$ , c'est-à-dire $a={\sqrt {2}}$ et $\varphi \equiv {\frac {\pi }{4}}{\bmod {2\pi }}$ ou (ce qui donne la même fonction $x$ ) $a=-{\sqrt {2}}$ et $\varphi \equiv -{\frac {3\pi 4}{\bmod {2\pi }}}$

$x(t)={\sqrt {2}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}t+{\frac {\pi }{4}}\right)$ , $x'(t)=-{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}t+{\frac {\pi }{4}}\right)$

Graphes de $x$ et $x'$

Exercice 10-2

Un mouvement rectiligne est défini par la loi horaire : $x(t)=\cos ^{2}t$ .

Montrer qu'il s'agit d'un mouvement vibratoire simple.
Trouver le centre et la période du mouvement.
Construire les diagrammes des espaces et des vitesses.

Solution

$x(t)={\frac {1+\cos 2t}{2}}$ .
$x_{0}={\frac {1}{2}}$ , $T=\pi$ .
$x'(t)=-\sin 2t=\pm {\sqrt {1-(2x-1)^{2}}}=\pm 2{\sqrt {x-x^{2}}}$ . Diagramme des vitesses, diagramme des espaces.

Exercice 10-3

Un mouvement rectiligne est défini par la loi horaire : $x(t)={\sqrt {3}}\cos \pi t+\sin \pi t-1$ .

Montrer qu'il s'agit d'un mouvement vibratoire simple.
Trouver le centre, la période et l'amplitude du mouvement.
Quelle est la position du mobile à l'instant $t=0$ ?
Construire les diagrammes des espaces et des vitesses.

Solution

$x(t)=2\cos \left(\pi t-{\frac {\pi }{6}}\right)-1$ .
$x_{0}=-1$ , $T=2$ et $a=2$ .
$x(0)={\sqrt {3}}-1$ .
$x'(t)=-2\pi \sin \left(\pi t-{\frac {\pi }{6}}\right)=\pm 2\pi {\sqrt {1-{\frac {(1+x(t))^{2}}{4}}}}$ . Diagramme des vitesses, diagramme des espaces.

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