Fonctions trigonométriques/Exercices/Calcul de limites

Exercice 3-1

Calculer $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin 5x}{7x}}$ et $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin 5x}{\sin 7x}}$ .

Solution

Ces deux limites valent ${\frac {5}{7}}$ , puisque $\lim _{X\to 0}{\frac {\sin X}{X}}=1$ .

Exercice 3-2

Calculer $\lim _{x\to 0}{\frac {\tan 5x}{7x}}$ et $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin 5x}{\tan 7x}}$ .

Solution

Ces deux limites valent ${\frac {5}{7}}$ , puisque $\lim _{X\to 0}{\frac {\tan X}{X}}=\lim _{X\to 0}{\frac {\sin X}{X}}=1$ .

Exercice 3-3

Calculer :

1° $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ^{2}x}{\tan ^{2}x}}$ ;

2° $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ^{2}x}{1-\cos x}}$ .

Solution

1° $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ^{2}x}{\tan ^{2}x}}=1$ , puisque $\lim _{X\to 0}{\frac {\tan X}{X}}=\lim _{X\to 0}{\frac {\sin X}{X}}=1$ .

2° $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ^{2}x}{1-\cos x}}=2$ , puisque $\lim _{X\to 0}{\frac {\sin X}{X}}=1$ et $\lim _{X\to 0}{\frac {1-\cos X}{X^{2}}}={\frac {1}{2}}$ .

Exercice 3-4

Calculer $\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}$ , puis $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x-\cos x+1}{x}}$ .

Solution

$\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0$ , puisque $\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}$ . Par conséquent, $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x-\cos x+1}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$ .

Exercice 3-5

Calculer :

1° $\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\sin 2x}{\sqrt {1-\cos x}}}$ ;

2° $\lim _{x\to 0}{\frac {\tan x-\sin x}{x^{3}}}$ .

Solution

1° $\lim _{x\to 0}{\frac {\sqrt {1-\cos x}}{|x|}}={\sqrt {\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$ donc $\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\sin 2x}{\sqrt {1-\cos x}}}=2{\sqrt {2}}$ .

2° $\lim _{x\to 0}{\frac {\tan x-\sin x}{x^{3}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\tan x}{x}}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}$ .

Exercice 3-6

Calculer :

1° $\lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}}\left(\sin x-1\right)\tan ^{2}x$ ;

2° $\lim _{x\to \pi }\left(1+\cos x\right)\tan {\frac {x}{2}}$ .

Solution

1° $\lim _{h\to 0}\left(\sin \left({\frac {\pi }{2}}+h\right)-1\right)\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}+h\right)=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos h-1}{\tan ^{2}h}}=-{\frac {1}{2}}$ .

2° $\lim _{h\to 0}\left(1+\cos \left(\pi +h\right)\right)\tan {\frac {\pi +h}{2}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1-\cos h}{-\tan {\frac {h}{2}}}}=0$ .

Exercice 3-7

Calculer :

1° $\lim _{x\to a}{\frac {\cos x-\cos a}{\sin x-\sin a}}$ ;

2° $\lim _{x\to a}{\frac {\tan x-\tan a}{\cos x-\cos a}}$ ;

3° $\lim _{x\to {\frac {\pi }{3}}}{\frac {\sin 3x}{1-2\cos x}}$ .

Solution

1° ${\frac {\cos 'a}{\sin 'a}}=-\tan a$ .

2° ${\frac {\tan 'a}{\cos 'a}}=-{\frac {1}{\cos ^{2}a\sin a}}$ .

3° ${\frac {3\cos 3{\frac {\pi }{3}}}{2\sin {\frac {\pi }{3}}}}={\frac {-3}{\sqrt {3}}}=-{\sqrt {3}}$ .

Cet article est issu de Wikiversity. Le texte est sous licence Creative Commons - Attribution - Partage dans les Mêmes. Des conditions supplémentaires peuvent s'appliquer aux fichiers multimédias.