Fonctions trigonométriques/Exercices/Calcul de dérivées

Exercice 2-1

Calculer les dérivées des fonctions :

1° $\sin 6x$ ;

2° $\cos 5x$ ;

3° $\cot 2x$ ;

4° $\tan {\frac {x}{2}}$ .

Solution

1° Si $f(x)=\sin 6x$ alors $f'(x)=6\cos 6x$ .

2° Si $f(x)=\cos 5x$ alors $f'(x)=-5\sin 5x$ .

3° Si $f(x)=\cot 2x={\frac {1}{\tan 2x}}$ alors $f'(x)=-{\frac {2(1+\tan ^{2}2x)}{\tan ^{2}2x}}=-2\left({\frac {1}{\tan ^{2}2x}}+1\right)=-2\left(\cot ^{2}2x+1\right)$ .

4° Si $f(x)=\tan {\frac {x}{2}}$ alors $f'(x)={\frac {1}{2}}\left(1+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}\right)$ .

Exercice 2-2

Calculer les dérivées des fonctions :

1° $\sin {\sqrt {x}}$ ;

2° ${\sqrt {\sin 2x}}$ ;

3° $\tan ^{2}x$ ;

4° $\cos ^{2}{\frac {x}{2}}$ .

Solution

1° Si $f(x)=\sin {\sqrt {x}}$ alors $f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\cos {\sqrt {x}}={\frac {\cos {\sqrt {x}}}{2{\sqrt {x}}}}$ .

2° Si $f(x)={\sqrt {\sin 2x}}$ alors $f'(x)={\frac {2\cos 2x}{2{\sqrt {\sin 2x}}}}={\frac {\cos 2x}{\sqrt {\sin 2x}}}$ .

3° Si $f(x)=\tan ^{2}x$ alors $f'(x)=2{\frac {1}{\cos ^{2}x}}\tan x={\frac {2\sin x}{\cos ^{3}x}}$ .

4° Si $f(x)=\cos ^{2}{\frac {x}{2}}$ alors $f'(x)=2\left(-{\frac {1}{2}}\sin {\frac {x}{2}}\right)\cos {\frac {x}{2}}=-{\frac {1}{2}}\times 2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}=-{\frac {1}{2}}\sin x$ .

Exercice 2-3

Calculer les dérivées des fonctions :

1° $\sin ^{2}x$ ;

2° $-\cos ^{2}x$ ;

3° $\tan x+\cot x$ ;

4° $\sin x\left(\sin x-\cos x\right)$ .

Solution

1° $2\sin x\cos x=\sin 2x$ .

2° $-2\cos x\left(-\sin x\right)=\sin 2x$ .

3° $\left(1-{\frac {1}{\tan ^{2}x}}\right)\left(1+\tan ^{2}x\right)=\tan ^{2}x-{\frac {1}{\tan ^{2}x}}$ .

4° $\cos x(\sin x-\cos x)+\sin x(\cos x+\sin x)=\sin 2x-\cos 2x$ .

Exercice 2-4

Calculer les dérivées des fonctions :

1° $4\sin ^{2}x-8\sin x+5$ ;

2° $5\cos ^{2}x+5\cos x-9$ ;

3° $\cos ^{2}x-\sin x\cos x+1$ ;

4° $\sin 2x+\sin x+\cos x$ ;

5° $\cos 2x-3\cos x-2$ .

Solution

1° $4\times 2\sin x\cos x-8\cos x=8\cos x\left(\sin x-1\right)$ .

2° $5\times 2\cos x(-\sin x)-5\sin x=-5\sin x\left(2\cos x+1\right)$ .

3° $-2\cos x\sin x-\cos ^{2}x+\sin ^{2}x=-\sin 2x-\cos 2x$ .

4° $2\cos 2x+\cos x-\sin x$ .

5° $-2\sin 2x+3\sin x=\sin x\left(-4\cos x+3\right)$ .

Exercice 2-5

Calculer les dérivées des fonctions :

1° ${\frac {2}{1+\cos x}}$ ;

2° ${\frac {\sin x}{1+\tan 2x}}$ ;

3° ${\frac {\cos x}{1+\cos ^{2}x}}$ ;

4° ${\frac {\tan 2x}{\tan x}}$ .

Solution

1° ${\frac {-2}{\left(1+\cos x\right)^{2}}}\left(-\sin x\right)={\frac {2\sin x}{\left(1+\cos x\right)^{2}}}$ .

2° ${\frac {\cos x\left(1+\tan 2x\right)-2\sin x\left(1+\tan ^{2}2x\right)}{\left(1+\tan 2x\right)^{2}}}$ .

3° ${\frac {1-\cos ^{2}x}{1+\cos ^{2}x}}\left(-\sin x\right)$ .

4° Si $f{(x)}={\frac {\tan 2x}{\tan x}}={\frac {2}{1-\tan ^{2}x}}$ alors $f'{(x)}={\frac {4\tan x}{\left(1-\tan ^{2}x\right)^{2}}}\left(1+\tan ^{2}x\right)$ .

Exercice 2-6

Calculer les dérivées des fonctions :

1° $x-\sin x\cos x$ ;

2° $\cos x\left(2+\sin ^{2}x\right)$ ;

3° $\tan x+\cot x+{\frac {1}{\sin x}}+{\frac {1}{\cos x}}$ ;

4° ${\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}+2\cot x$ .

Solution

1° $1-\cos ^{2}x+\sin ^{2}x=2\sin ^{2}x$ .

2° $-\sin x\left(2+\sin ^{2}x\right)+\cos x\left(2\sin x\cos x\right)=-3\sin ^{3}x$ .

3° $\tan ^{2}x-\cot ^{2}x+{\frac {\sin ^{3}x-\cos ^{3}x}{\sin ^{2}x\cos ^{2}x}}$ .

4° ${\frac {-\sin ^{3}x-2\cos ^{2}x\sin x}{\sin ^{4}x}}-2-2\cot ^{2}x$ .

Exercice 2-7

Calculer les dérivées des fonctions et expliquer les résultats :

1° $\left(1+\tan x\tan {\frac {x}{2}}\right)\cos x$ ;

2° $\sin ^{6}x+\cos ^{6}x+3\sin ^{2}x\cos ^{2}x$ .

Solution

1° $\left(1+\tan x\tan {\frac {x}{2}}\right)\cos x=\cos x+\sin x\tan {\frac {x}{2}}=\cos x+2\sin ^{2}{\frac {x}{2}}=1$ , de dérivée $0$ .

2° $\sin ^{6}x+\cos ^{6}x+3\sin ^{2}x\cos ^{2}x=\sin ^{6}x+\cos ^{6}x+3\sin ^{2}x\cos ^{2}x\left(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x\right)=\left(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x\right)^{3}=1$ , de dérivée $0$ .

Exercice 2-8

Calculer les dérivées des fonctions :

1° ${\frac {\sin x-x\cos x}{\cos x+x\sin x}}$ ;

2° ${\frac {\cos x+x\sin x}{\sin x-x\cos x}}$ ;

3° ${\sqrt {\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}}$ ;

4° $2x\cos x+(x^{2}-2)\sin x$ .

Solution

1° ${\frac {x\sin x\left(\cos x+x\sin x\right)-x\cos x\left(\sin x-x\cos x\right)}{\left(\cos x+x\sin x\right)^{2}}}={\frac {x^{2}}{\left(\cos x+x\sin x\right)^{2}}}$ .

2° ${\frac {x\cos x\left(\sin x-x\cos x\right)-x\sin x\left(\cos x+x\sin x\right)}{\left(\sin x-x\cos x\right)^{2}}}={\frac {-x^{2}}{\left(\sin x-x\cos x\right)^{2}}}$ .

3° ${\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1-\sin x}{1+\sin x}}}{\frac {2\cos x}{\left(1-\sin x\right)^{2}}}={\frac {\cos x}{\left|\cos x\right|\left(1-\sin x\right)}}$ .

4° $2\cos x-2x\sin x+2x\sin x+(x^{2}-2)\cos x=x^{2}\cos x$ .

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