${\displaystyle f}$ est paire et ${\displaystyle f(x+\pi )=-f(x)}$ donc il suffit de l'étudier sur ${\displaystyle \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right[}$.

Sur cet intervalle, ${\displaystyle \cos }$ est positive et décroissante donc ${\displaystyle f=2\cos -{\frac {3}{2\cos }}}$ est décroissante.

${\displaystyle f(0)={\frac {1}{2}}}$ et ${\displaystyle \lim _{{\frac {\pi }{2}}^{-}}f=-\infty }$.

Tracé sur Google

${\displaystyle f}$ est ${\displaystyle 2\pi }$-périodique et ${\displaystyle f(\pi -x)=f(x)}$ donc il suffit de l'étudier sur ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$.

${\displaystyle f(x)=g(\sin x)}$ avec ${\displaystyle g(s)=6s-3(1-2s^{2})+2(3s-4s^{3})=-8s^{3}+6s^{2}+12s-3}$.

${\displaystyle g'(s)=-12\left(s-1\right)\left(s+{\frac {1}{2}}\right)}$ et sur l'intervalle d'étude, ${\displaystyle \sin '=\cos }$ est positive, donc ${\displaystyle f'}$ est du signe de ${\displaystyle \sin x+{\frac {1}{2}}}$. ${\displaystyle f}$ est donc décroissante sur ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},-{\frac {\pi }{6}}\right]}$ et croissante sur ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{6}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$.

${\displaystyle f\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)=g(-1)=-1}$, ${\displaystyle f\left(-{\frac {\pi }{6}}\right)=g\left(-{\frac {1}{2}}\right)=-6{,}5}$ et ${\displaystyle f\left({\frac {\pi }{2}}\right)=g(1)=7}$.

Tracé sur Google

Les variations et la courbe de ${\displaystyle f(x)=-\tan \left(x+{\frac {\pi }{4}}\right)}$ se déduisent de celles de ${\displaystyle \tan }$. Tracé sur Google

${\displaystyle f(x)=g(\tan x)}$ avec ${\displaystyle g(t)={\frac {(t-1)^{2}}{2}}}$ donc il suffit d'étudier ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}$.

${\displaystyle g'(t)=t-1}$ donc ${\displaystyle f}$ est décroissante sur ${\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{4}}\right]}$ et croissante sur ${\displaystyle \left[{\frac {\pi }{4}},{\frac {\pi }{2}}\right[}$.

${\displaystyle \lim _{-{\frac {\pi }{2}}^{+}}f=\lim _{{\frac {\pi }{2}}^{-}}f=+\infty }$ et ${\displaystyle f\left({\frac {\pi }{4}}\right)=g(1)=0}$.

Tracé sur Google

${\displaystyle f}$ est définie sur ${\displaystyle \left]-\pi /2,\pi /2\right[+2\pi \mathbb {Z} }$ et elle est ${\displaystyle 2\pi }$-périodique et paire, donc il suffit de l'étudier sur ${\displaystyle \left[0,\pi /2\right[}$. Sur cet intervalle, ${\displaystyle \cos }$ est décroissante donc ${\displaystyle f}$ aussi (par croissance de ${\displaystyle \ln }$). ${\displaystyle f(0)=0}$ et ${\displaystyle \lim _{(\pi /2)^{-}}f=-\infty }$.

Tracé sur Google