${\displaystyle f}$ est ${\displaystyle 2\pi }$-périodique et paire donc il suffit de l'étudier sur ${\displaystyle [0,\pi ]}$.

${\displaystyle f(x)=g(\cos x)}$ avec ${\displaystyle g(y):=1-y^{2}+y^{3}}$, à étudier sur ${\displaystyle [-1,1]}$.

${\displaystyle g'(y)=y(3y-2)}$ change de signe en ${\displaystyle 0}$ et en ${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$. Soit ${\displaystyle \theta :=\arccos {\frac {2}{3}}}$.

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccccc|}x&0&&\theta &&{\frac {\pi }{2}}&&\pi \\\hline &1&&&&1&&\\&&\searrow &&\nearrow &&\\f(x)&&&{\frac {23}{27}}&&&\searrow &\\&&&&&&&-1\\\hline \end{array}}}$

Tracé sur Google

${\displaystyle f}$ est une fonction de ${\displaystyle \sin x}$ donc il suffit de l'étudier sur ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\setminus \left\{-{\frac {\pi }{6}}\right\}}$.

${\displaystyle f'(x)}$ est du signe de ${\displaystyle \left(\sin ^{2}x-{\frac {1}{4}}\right)\cos x}$.

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccccccc|}x&-{\frac {\pi }{2}}&&&-{\frac {\pi }{6}}&&&{\frac {\pi }{6}}&&{\frac {\pi }{2}}\\\hline &&&+\infty &\|&+\infty &&&&\\&&\nearrow &&\|&&&&&\\&9&&&\|&&&&&\\&&&&\|&&\searrow &&&{\frac {1}{9}}\\&&&&\|&&&&\nearrow &\\&&&&\|&&&0&&\\\hline \end{array}}}$

Tracé Google

${\displaystyle f:x\mapsto {\frac {1}{\sin x}}-2\sin x}$ est une fonction impaire de ${\displaystyle \sin x}$ donc il suffit de l'étudier sur ${\displaystyle \left]0,{\frac {\pi }{2}}\right]}$.

Sur cet intervalle, elle est décroissante car ${\displaystyle \sin }$ est positive et croissante.

${\displaystyle \lim _{0^{+}}f=+\infty }$ et ${\displaystyle f\left({\frac {\pi }{2}}\right)=-1}$.

Tracé sur Google

${\displaystyle f}$ est paire et ${\displaystyle 2\pi }$-périodique donc il suffit de l'étudier sur ${\displaystyle [0,\pi ]\setminus \left\{{\frac {\pi }{3}}\right\}}$.

Sur ce domaine, ${\displaystyle f'>0}$.

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccccc|}x&0&&&{\frac {\pi }{3}}&&&\pi \\\hline &&&+\infty &\|&&&\\&&\nearrow &&\|&&&\\f(x)&1-{\sqrt {2}}&&&\|&&&\\&&&&\|&&&-{\frac {1+{\sqrt {2}}}{3}}\\&&&&\|&&\nearrow &\\&&&&\|&-\infty &&\\\hline \end{array}}}$

Tracé sur Google