Les variations et la courbe de ${\displaystyle f(x)={\sqrt {2}}\sin(x+\pi /4)}$ se déduisent immédiatement de celle de ${\displaystyle \sin }$.

Les variations et la courbe de ${\displaystyle f(x)=\sin 2x+{\frac {1-\cos 2x}{2}}={\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\left(\sin 2x{\frac {2}{\sqrt {5}}}-\cos 2x{\frac {1}{\sqrt {5}}}\right)={\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\sin(2x-\theta )}$, où ${\displaystyle \theta =\arccos {\frac {2}{\sqrt {5}}}}$, se déduisent immédiatement de celle de ${\displaystyle \sin }$.

${\displaystyle f}$ est ${\displaystyle \pi }$-périodique et paire donc il suffit de l'étudier sur ${\displaystyle \left]0,{\frac {\pi }{2}}\right[\setminus \left\{{\frac {\pi }{6}}\right\}}$.

${\displaystyle f(x)=g(\tan ^{2}x)}$ avec ${\displaystyle g(y):={\frac {y-3}{3y^{2}-y}}}$, ${\displaystyle (3y^{2}-y)^{2}g'(y)=3y^{2}-y-(y-3)(6y-1)=-3(y^{2}-6y+1)}$ s'annule pour ${\displaystyle y_{\pm }:=3\pm {\sqrt {8}}}$ donc ${\displaystyle f}$ a un extremum local en ${\displaystyle x_{\pm }:=\arctan {\sqrt {y_{\pm }}}}$.

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccccccccc|}x&0&&&x_{-}&&&{\frac {\pi }{6}}&&&x_{+}&&&{\frac {\pi }{2}}\\\hline &\|&+\infty &&&&+\infty &\|&&&&&&\|\\&\|&&\searrow &&\nearrow &&\|&&&&&&\|\\&\|&&&g(y_{-})&&&\|&&&&&&\|\\f(x)&\|&&&&&&\|&&&g(y_{+})&&&\|\\&\|&&&&&&\|&&&&\searrow &&\|\\&\|&&&&&&\|&&\nearrow &&&0^{+}&\|\\&\|&&&&&&\|&-\infty &&&&&\|\\\hline \end{array}}}$

Tracé sur Google

${\displaystyle f(x+\pi )=-f(x)}$ et ${\displaystyle f(\pi /2-x)=f(x)}$ donc il suffit d'étudier ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle [-\pi /4,\pi /4]\setminus \{0\}}$.

Sur ce domaine, ${\displaystyle f'={\frac {\sin ^{3}-\cos ^{3}}{\sin ^{2}\cos ^{2}}}<0}$.

${\displaystyle f(-\pi /4)=0,\quad \lim _{0^{\pm }}f=\pm \infty ,\quad f(\pi /4)=2{\sqrt {2}}}$.

Tracé sur Google