Fonctions trigonométriques/Exercices/Échauffement

Exercice 1-1

Démontrer géométriquement la continuité des fonctions cosinus, sinus et tangente.

Solution

Notons $M(x)$ le point du cercle trigonométrique tel que ${\overset {\frown }{AM}}=x$ . Quand $x$ tend vers $x_{0}$ , ce point tend vers $M(x_{0})$ donc ses coordonnées, $(\cos x,\sin x)$ , tendent vers $(\cos x_{0},\sin x_{0})$ , et la pente $\tan x$ de $(OM)$ tend vers $\tan x_{0}$ .

Exercice 1-2

Démontrer les relations :

$\forall \alpha \in \mathbb {R} ^{*}\quad 1-\cos \alpha <{\frac {\alpha ^{2}}{2}}$ ;
$\tan \alpha >0\Rightarrow \tan \alpha -\sin \alpha <{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\tan \alpha$ .

Solution

- $1-\cos \alpha =2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}<2\left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{2}$ si $0<|\alpha |<\pi$ (d'après le cours).
- Si $|\alpha |\geq \pi$ alors ${\frac {\alpha ^{2}}{2}}\geq {\frac {\pi ^{2}}{2}}>2>1-\cos \alpha$ .
La seconde assertion est une conséquence immédiate de la première.

Exercice 1-3

Transformer $\sin(x+h)-\sin x$ en un produit.
Montrer que le signe du rapport ${\frac {\sin(x+h)-\sin x}{h}}$ dépend de $x$ et $h$ .
Que peut-on dire si $x$ et $x+h$ sont compris entre ${\frac {\pi }{2}}$ et $\pi$ ?

Solution

$\sin(x+h)-\sin x=2\sin h\cos \left(x+{\frac {h}{2}}\right)$ .
Immédiat d'après la question précédente.
$\sin(x+h)-\sin x$ est alors du signe de $h$ , par décroissance de $\sin$ sur cet intervalle.

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