Une fonction homographique est une fonction ${\displaystyle f}$ qui peut être définie par une expression de la forme :

${\displaystyle f:x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}}$

avec ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ et ${\displaystyle d}$ des réels.

• Les deux réels ${\displaystyle c}$ et ${\displaystyle ad-bc}$ doivent être non nuls pour que ${\displaystyle f}$ ne soit pas simplement une fonction affine.
• La fonction ${\displaystyle f}$ est définie en tout point ${\displaystyle x}$ tel que ${\displaystyle cx+d\neq 0}$, c'est-à-dire ${\displaystyle x\neq -{\frac {d}{c}}}$.

• ${\displaystyle f_{1}:x\mapsto {\frac {2x+3}{3x+4}}}$
• ${\displaystyle f_{2}:x\mapsto {\frac {2x-3}{-3x+4}}}$
• ${\displaystyle f_{3}:x\mapsto {\frac {-2x+3}{3x}}}$

1. Préciser les coefficients ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ et ${\displaystyle d}$ dans chaque cas.
2. Pour quelle valeur de ${\displaystyle x}$ ces trois fonctions peuvent-elles être définies ?

La courbe représentative d'une fonction homographique est une hyperbole.

Représenter graphiquement les fonctions ${\displaystyle f_{1}}$, ${\displaystyle f_{2}}$ et ${\displaystyle f_{3}}$.

Dans les quatre cas suivants, donner l'ensemble des valeurs de ${\displaystyle x}$ pour lesquelles l'égalité a un sens puis (pour ces valeurs) la démontrer.

1. ${\displaystyle {\frac {2x+3}{3x+4}}={\frac {x+1{,}5}{1{,}5x+2}}}$
2. ${\displaystyle {\frac {3-2x}{3x-4}}={\frac {2x-3}{-3x+4}}}$
3. ${\displaystyle {\frac {3-2x}{3x-4}}={\frac {-2x+3}{3x-4}}}$
4. ${\displaystyle {\frac {2x-3}{-3x+4}}={\frac {1}{3(3x-4)}}-{\frac {2}{3}}}$