Fonctions homographiques/Étude

La fonction homographique est la fonction $f:x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}$ où $c\in \mathbb {R} ^{*}$ .

La fonction homographique est obtenue grâce à un changement de coordonnées de la fonction inverse : En définissant $g:x\mapsto {\frac {1}{x}}$ , on a l'égalité suivante : $f(x)={\frac {a}{c}}+{\frac {1}{c}}(b-{\frac {ad}{c}})g(x+{\frac {d}{c}})$ .

Étude des variations

On pose : $f:x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}$ .

Fonction dérivée

Calcul de la dérivée

On a $f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}$ . On peut donc poser :

\displaystyle u(x)=ax+b

et

\displaystyle v(x)=cx+d

.

On a donc $\displaystyle f'(x)={\Bigl (}{\frac {u(x)}{v(x)}}{\Bigl )}'={\Bigl (}{\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^{2}}}{\Bigl )}$ .

Or $\displaystyle u'(x)=a$ et $\displaystyle v'(x)=c$ , d'où :

f'(x)={\frac {a(cx+d)-c(ax+b)}{(cx+d)^{2}}}={\frac {ad-cb}{(cx+d)^{2}}}

.

Fonction dérivée

Soit $f:x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}$ une fonction homographique, alors sa fonction dérivée vérifie :

f'(x)={\frac {ad-cb}{(cx+d)^{2}}}

Signe de la dérivée

On se propose d'étudier le signe de la dérivée de $f$ .

Étude du signe de $f'$

On sait que $f'(x)={\frac {ad-cb}{(cx+d)^{2}}}$ . Or $(cx+d)^{2}$ est une grandeur positive, donc : $sgn(f'(x))=sgn(ad-cb)$ .

Or $ad-cb$ ne dépend pas de $x$ , donc $f'(x)$ est de signe constant sur $\mathbb {R} \setminus \left\{{\frac {-d}{c}}\right\}$ et :

\displaystyle {\begin{cases}f'(x)>0,&{\text{si }}ad-cb>0\\f'(x)<0,&{\text{si }}ad-cb<0\end{cases}}

Signe de la dérivée

Soit f une fonction homographique définie sur $D$ , alors $f'(x)$ est de signe constant sur $D$ et :
$\displaystyle f'(x)>0,{\text{ si }}ad-cb>0$
$\displaystyle f'(x)<0,{\text{ si }}ad-cb<0$

Variations d'une fonction homographique

On peut donc déduire du signe de $f'$ les variations de $f$ .

Variations de

f

Soit $f:x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}$ une fonction homographique définie sur $\mathbb {R} \setminus \left\{{\frac {-d}{c}}\right\}$ , alors :
$\displaystyle {\begin{cases}f(x){\text{ est croissante}},&{\text{si }}ad-cb>0\\f(x){\text{ est decroissante}},&{\text{si }}ad-cb<0\end{cases}}$

Limites d'une fonction homographique

Calcul des limites

Calcul des limites

Soit $f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}$ une fonction homographique définie sur $\mathbb {R} \setminus \left\{{\frac {-d}{c}}\right\}$ , on se propose de chercher les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition :

en $\infty$ : $\lim _{x\to \infty }f(x)=\lim _{x\to \infty }{\frac {ax+b}{cx+d}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x\times (a+{\frac {b}{x}})}{x\times (c+{\frac {d}{x}})}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {a+{\frac {b}{x}}}{c+{\frac {d}{x}}}}={\frac {\lim \limits _{x\to \infty }a+{\frac {b}{x}}}{\lim \limits _{x\to \infty }c+{\frac {d}{x}}}}={\frac {a+\lim \limits _{x\to \infty }{\frac {b}{x}}}{c+\lim \limits _{x\to \infty }{\frac {d}{x}}}}={\frac {a+0}{c+0}}$
$\lim _{x\to \infty }f(x)={\frac {a}{c}}$
en ${\frac {-d}{c}}$ : $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}}}f(x)=\lim _{x\to {\frac {-d}{c}}}{\frac {ax+b}{cx+d}}=\lim _{x\to {\frac {-d}{c}}}(ax+b)\times {\frac {1}{cx+d}}=\infty$ .
Le calcul du signe de cet infini est à traiter au cas par cas.

On doit donc calculer la limite en ${\frac {-d}{c}}$ de f au cas par cas :

Signe de la limite en $\textstyle {\frac {-d}{c}}$

Il faut donc chercher le signe de $f$ aux alentours de ${\frac {-d}{c}}$ :
Or, $f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {(ax+b)(cx+d)}{(cx+d)^{2}}}$ Or, $(cx+d)^{2}\geq 0$
Donc, $\displaystyle sgn(f(x))=sgn((ax+b)(cx+d))$ . En posant $\displaystyle g(x)=(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ab+cd)x+bd$ , on obtient un polynôme du second degré, dont le signe va dépendre de l’ordre des racines et du signe de $ac$ .
1°cas :
Si $a$ et $c$ sont de même signe, alors, g(x) est négatif entre ses racines, il faut envisager deux cas :

Si ${\frac {-b}{a}}\leq {\frac {-d}{c}}$ , alors, $f(x)\leq 0$ sur $\left[{\frac {-b}{a}}:{\frac {-d}{c}}\right]$ et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\leq {\frac {-d}{c}}}f(x)$ est négatif et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\leq {\frac {-d}{c}}}f(x)=-\infty$ , et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\geq {\frac {-d}{c}}}f(x)=+\infty$
Si ${\frac {-b}{a}}\geq {\frac {-d}{c}}$ , alors, $f(x)\leq 0$ sur $\left[{\frac {-d}{c}}:{\frac {-b}{a}}\right]$ et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\geq {\frac {-d}{c}}}f(x)$ est négatif et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\geq {\frac {-d}{c}}}f(x)=-\infty$ , et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\leq {\frac {-d}{c}}}f(x)=+\infty$

2° cas :
Si $a$ et $c$ sont de signes différents, alors $g(x)$ est positif entre ses racines, et les deux configurations sont :

Si ${\frac {-b}{a}}\leq {\frac {-d}{c}}$ , alors, $f(x)\geq 0$ sur $\left[{\frac {-b}{a}}:{\frac {-d}{c}}\right]$ et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\leq {\frac {-d}{c}}}f(x)$ est positif et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\leq {\frac {-d}{c}}}f(x)=+\infty$ , et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\geq {\frac {-d}{c}}}f(x)=-\infty$
Si ${\frac {-b}{a}}\geq {\frac {-d}{c}}$ , alors, $f(x)\geq 0$ sur $\left[{\frac {-d}{c}}:{\frac {-b}{a}}\right]$ et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\geq {\frac {-d}{c}}}f(x)$ est positif et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\geq {\frac {-d}{c}}}f(x)=+\infty$ , et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\leq {\frac {-d}{c}}}f(x)=-\infty$

Limites d'une fonction homographique

Soit $f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}$ , une fonction homographique définie sur $\mathbb {R} \setminus \left\{{\frac {-d}{c}}\right\}$ , alors :

$\lim _{x\to \infty }f(x)={\frac {a}{c}}$
Si $a$ et $c$ sont de même signe :
$\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\geq {\frac {-d}{c}}}f(x)=+\infty$ , et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\leq {\frac {-d}{c}}}f(x)=-\infty$ , si ${\frac {-b}{a}}\leq {\frac {-d}{c}}$

$\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\geq {\frac {-d}{c}}}f(x)=-\infty$ , et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\leq {\frac {-d}{c}}}f(x)=+\infty$ , si ${\frac {-b}{a}}\geq {\frac {-d}{c}}$

Si $a$ et $c$ sont de signes différents :
$\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\geq {\frac {-d}{c}}}f(x)=-\infty$ , et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\leq {\frac {-d}{c}}}f(x)=+\infty$ , si ${\frac {-b}{a}}\leq {\frac {-d}{c}}$

$\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\geq {\frac {-d}{c}}}f(x)=+\infty$ , et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\leq {\frac {-d}{c}}}f(x)=-\infty$ , si ${\frac {-b}{a}}\geq {\frac {-d}{c}}$

Remarque: les limites en +infini et en -infini sont identiques et valent a/c (on peut aisément le démontrer par factorisation). Autrement dit, une fonction homographique possède deux asymptotes: les droites x = -d/c et y = a/c.

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