Au voisinage de ${\displaystyle a}$ :

• ${\displaystyle f}$ est dite dominée par ${\displaystyle g}$, ce qu'on note ${\displaystyle f\,{\underset {a}{=}}\,O(g)}$ et lit « ${\displaystyle f}$ est un grand O de ${\displaystyle g}$ au voisinage de ${\displaystyle a}$ » si :

au voisinage de ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle f(x)=\varphi (x)g(x)}$ avec ${\displaystyle \varphi }$ bornée ;

• ${\displaystyle f}$ est dite équivalente à ${\displaystyle g}$, ce qu'on note ${\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,g}$, si :

au voisinage de ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle f(x)=\varphi (x)g(x)}$ avec ${\displaystyle \lim _{a}\varphi =1}$ ;

• ${\displaystyle f}$ est dite négligeable devant ${\displaystyle g}$, ce qu'on note ${\displaystyle f\,{\underset {a}{=}}\,o(g)}$ et lit « ${\displaystyle f}$ est un petit o de ${\displaystyle g}$ au voisinage de ${\displaystyle a}$ », si :

au voisinage de ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle f(x)=\varphi (x)g(x)}$ avec ${\displaystyle \lim _{a}\varphi =0}$.

• En ${\displaystyle +\infty }$, tout polynôme non nul est équivalent à son monôme de plus haut degré.
• Pour tous réels strictement positifs ${\displaystyle \lambda }$ et ${\displaystyle \mu }$, on a :
  ${\displaystyle \quad x^{\mu }\,{\underset {x\to +\infty }{=}}\,o\left(\operatorname {e} ^{\lambda x}\right)\quad {\text{ et }}\quad (\ln x)^{\mu }\,{\underset {x\to +\infty }{=}}\,o\left(x^{\lambda }\right)}$
  (voir, dans les leçons Fonction exponentielle et Fonction logarithme, les chapitres sur les croissances comparées, et leurs pages d'exercices respectives).
• Si ${\displaystyle f'(a)=k\neq 0}$, alors ${\displaystyle f(x)-f(a)\,{\underset {x\to a}{\sim }}\,k(x-a)}$. Par exemple, en 0 :
  • ${\displaystyle \sin x}$, ${\displaystyle \tan x}$, ${\displaystyle \arcsin x}$, ${\displaystyle \arctan x}$, ${\displaystyle \ln(1+x)}$ et ${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}-1}$ sont tous équivalents à ${\displaystyle x}$ ;
  • ${\displaystyle (1+x)^{k}-1}$ est équivalent à ${\displaystyle kx}$.
• Le point précédent est une reformulation de développements limités à l'ordre 1. Le prochain chapitre traitera des développements limités à un ordre quelconque, et un équivalent sera alors donné par le premier terme non nul du développement limité. Par exemple :

  ${\displaystyle \cos x-1\,{\underset {x\to 0}{\sim }}\,-{\frac {x^{2}}{2}}}$.

• ${\displaystyle \mathrm {e} ^{f}\,{\underset {a}{\sim }}\,\mathrm {e} ^{g}\Longleftrightarrow \lim _{a}(f-g)=0}$, d'après l'identité ${\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{f}}{\mathrm {e} ^{g}}}=\mathrm {e} ^{f-g}}$, et par continuité des fonctions logarithme (en 1) et exponentielle (en 0).

• Si ${\displaystyle f=\varphi g}$ avec ${\displaystyle \lim _{a}\varphi \in \mathbb {R} }$ (en particulier si ${\displaystyle f\,{\underset {a}{=}}\,o(g)}$ ou ${\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,g}$), alors ${\displaystyle f\,{\underset {a}{=}}\,O(g)}$.
• ${\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,g\iff f-g\,{\underset {a}{=}}\,o(g)}$.

En ${\displaystyle +\infty }$ :

• ${\displaystyle \ln x=o(x)}$ donc ${\displaystyle x+\ln x\sim x}$ ;
• ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-x}=o(1/x)}$ donc ${\displaystyle {\frac {1}{x}}+\mathrm {e} ^{-x}\sim {\frac {1}{x}}}$.

• La relation ${\displaystyle {\underset {a}{\sim }}}$ est une relation d'équivalence, c'est-à-dire qu'elle est :
  • réflexive : ${\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,f}$
  • symétrique : ${\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,g\Rightarrow g\,{\underset {a}{\sim }}\,f}$
  • transitive : ${\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,g{\text{ et }}g\,{\underset {a}{\sim }}\,h\Longrightarrow f\,{\underset {a}{\sim }}\,h}$.
• Il y a aussi transitivité de la relation de domination :
  ${\displaystyle f\,{\underset {a}{=}}\,O(g){\text{ et }}g\,{\underset {a}{=}}\,O(h)\Longrightarrow f\,{\underset {a}{=}}\,O(h)}$.
• Pour la relation de négligeabilité, on a une propriété plus forte que la transitivité :
  ${\displaystyle f\,{\underset {a}{=}}\,O(g)}$ et ${\displaystyle g\,{\underset {a}{=}}\,o(h)}$, ou si ${\displaystyle f\,{\underset {a}{=}}\,o(g)}$ et ${\displaystyle g\,{\underset {a}{=}}\,O(h)}$, alors ${\displaystyle f\,{\underset {a}{=}}\,o(h)}$.

• Les relations ${\displaystyle {\underset {a}{\sim }}}$ et ${\displaystyle {\underset {a}{=}}\,O}$ sont compatibles avec la multiplication de fonctions :
  • ${\displaystyle f_{1}\,{\underset {a}{\sim }}\,f_{2}{\text{ et }}g_{1}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{2}\Longrightarrow f_{1}g_{1}\,{\underset {a}{\sim }}\,f_{2}g_{2}}$ ;
  • ${\displaystyle f_{1}\,{\underset {a}{=}}\,O(f_{2}){\text{ et }}g_{1}\,{\underset {a}{=}}\,O(g_{2})\Longrightarrow f_{1}g_{1}\,{\underset {a}{=}}\,O(f_{2}g_{2})}$.
• La relation ${\displaystyle {\underset {a}{=}}\,o}$ est compatible en un sens plus fort :

  ${\displaystyle f_{1}\,{\underset {a}{=}}\,O(f_{2}){\text{ et }}g_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(g_{2})\Longrightarrow f_{1}g_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(f_{2}g_{2})}$.

• Si ${\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,g}$ et si ${\displaystyle g}$ ne s'annule pas au voisinage de ${\displaystyle a}$, alors ${\displaystyle {\frac {1}{f}}\,{\underset {a}{\sim }}\,{\frac {1}{g}}}$.

On a ${\displaystyle 1+x\,{\underset {x\to 0}{\sim }}\,1}$ mais ${\displaystyle (1+x)+(-1)\,{\underset {x\to 0}{\nsim }}\,1+(-1)}$.

Si, sur un voisinage de ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle f_{2}}$ et ${\displaystyle g_{2}}$ sont de même signe et ne s'annulent pas simultanément, alors :

• ${\displaystyle f_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(f_{2}){\text{ et }}g_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(g_{2})\Rightarrow f_{1}+g_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(f_{2}+g_{2})}$ ;
• ${\displaystyle f_{1}\,{\underset {a}{\sim }}\,f_{2}{\text{ et }}g_{1}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{2}\Rightarrow f_{1}+g_{1}\,{\underset {a}{\sim }}\,f_{2}+g_{2}}$ ;
• ${\displaystyle f_{1}\,{\underset {a}{=}}\,O(f_{2}){\text{ et }}g_{1}\,{\underset {a}{=}}\,O(g_{2})\Rightarrow f_{1}+g_{1}\,{\underset {a}{=}}\,O(f_{2}+g_{2})}$.

Si ${\displaystyle \lim _{b}h=a}$, alors :

• ${\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,g\Longrightarrow f\circ h\,{\underset {b}{\sim }}\,g\circ h}$ ;
• ${\displaystyle f\,{\underset {a}{=}}\,o(g)\Longrightarrow f\circ h\,{\underset {b}{=}}\,o(g\circ h)}$ ;
• ${\displaystyle f\,{\underset {a}{=}}\,O(g)\Longrightarrow f\circ h\,{\underset {b}{=}}\,O(g\circ h)}$.

• ${\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,g\Longleftrightarrow f(a+t)\,{\underset {t\to 0}{\sim }}\,g(a+t)}$
  (${\displaystyle \Rightarrow }$ en posant ${\displaystyle h(t)=a+t}$, mais aussi ${\displaystyle \Leftarrow }$, en posant ${\displaystyle h(x)=x-a}$).
  Par exemple (puisque ${\displaystyle \ln(1+t)\,{\underset {t\to 0}{\sim }}\,t}$) :

  ${\displaystyle \ln x\,{\underset {1}{\sim }}\,x-1}$ ;

• On en déduit : si ${\displaystyle \lim _{b}h=1}$, alors ${\displaystyle \mathrm {ln} \circ h\,{\underset {b}{\sim }}\,h-1}$ ;
• Pour toute suite numérique ${\displaystyle (h_{n})}$ convergeant vers ${\displaystyle 0}$, on a ${\displaystyle \ln(1+h_{n})\sim h_{n}}$ ;
• De ${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}-1\,{\underset {x\to 0}{\sim }}\,x}$ et ${\displaystyle \lim _{t\to 0}\sin t=0}$, on déduit : ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\sin t}-1\,{\underset {t\to 0}{\sim }}\,\sin t}$.

Supposons que ${\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,g}$ et ${\displaystyle g>0}$. On a :

• ${\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb {C} \quad f^{\alpha }\,{\underset {a}{\sim }}\,g^{\alpha }}$ ;
• s'il existe de plus un réel ${\displaystyle \varepsilon >0}$ tel que, au voisinage de ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle |g-1|\geq \varepsilon }$ (en particulier, si ${\displaystyle \lim _{a}g=+\infty }$ ou ${\displaystyle \lim _{a}g=0}$), alors ${\displaystyle \ln \circ f\,{\underset {a}{\sim }}\,\ln \circ g}$.