L'exponentielle complexe
Avant de définir le logarithme complexe, rappelons la définition de l'exponentielle complexe par une série entière de rayon de convergence infini.
L'exponentielle complexe est définie par :
et holomorphe sur .
Contrairement à l'exponentielle réelle l'exponentielle complexe n’est pas injective dans puisque . |
Par conséquent on ne peut définir un logarithme dans comme un logarithme dans
Fonctions hyperboliques
Grâce à l'exponentielle complexe nous pouvons étendre la définition des fonctions hyperboliques à :
Propriétés de l'exponentielle complexe
:
- ;
- ;
- .
La fonction « argument » : Arg
Pour des raisons purement géométriques, l'argument d'un nombre complexe n'est jamais défini que modulo et on ne peut définir de façon naturelle de fonction argument à valeurs réelles.
Ici, on se fixera un choix de l'argument, de sorte que l’on ait les propriétés suivantes :
on a :
On constate que cette fonction Arg(z) n’est pas prolongeable continument aux , car si elle était définie sur , on aurait un saut de et elle serait alors discontinue sur son ouvert de définition.
On appelle cette fonction détermination principale de l'argument.
Le logarithme complexe
On définit sur la fonction , qu'on appellera détermination principale du logarithme complexe par :
où désigne le logarithme népérien réel usuel.
Alors, est holomorphe sur .
Dérivées partielles du logarithme complexe
On note , pour , on a :
- ;
- .
Ainsi est holomorphe, puisque :
.
La dérivée de se calcule en appliquant la règle de dérivation des fonctions composées :
- ,
ce qui donne :
- .
Puissance généralisée
Soit et , on appelle puissance généralisée (ou détermination/branche principale) de la fonction définie par :