Exercice 1
Soit un nombre complexe de partie réelle .
On rappelle (Sommation/Exercices/Séries de Fourier et fonction zêta#Exercice 9-7 et Mathématiques en MP/Exercices/Intégrales dépendant d'un paramètre#Exercice 2-5) que :
- la fonction zêta de Hurwitz , définie pour tout complexe de partie réelle par , vérifie :
- où est la fonction Gamma d'Euler ;
- la fonction s'étend en une fonction entière.
En déduire que la fonction s'étend en une fonction entière.
Indication : utiliser l'existence d'un développement de Taylor à tout ordre en 0 de .
- .
La fonction est est continue sur et à décroissance rapide, donc la seconde intégrale est holomorphe sur le demi-plan .
La première se calcule en intégrant terme à terme, ce qui donne :
donc la fonction
s'étend en une fonction holomorphe sur (de façon unique, et est choisi aussi grand qu'on veut).
Remarquons de plus qu'on peut calculer la valeur de pour tout entier , pôle de , sachant que où les sont les nombres de Bernoulli :
où est le -ième polynôme de Bernoulli.