Fonctions circulaires réciproques/Fonction arcsin

La fonction sinus est une surjection de $\mathbb {R}$ vers $[-1,1]$ . Elle devient bijective si l'on ne considère que les angles compris dans un intervalle de la forme $I_{k}:=\left[-{\frac {\pi }{2}}+k\pi ,{\frac {\pi }{2}}+k\pi \right],\ k\in \mathbb {Z}$ , car sa restriction à $I_{k}$ est strictement monotone donc injective. On choisit l'intervalle le plus simple ( $I_{0}$ ), et l'on peut alors définir l'application réciproque de cette fonction :

La fonction arc sinus

Définition

On appelle arcsinus, et l'on note $\arcsin$ , la bijection de $[-1,1]$ dans $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ qui,

à tout réel $x\in [-1,1]$ , associe l'unique réel $\theta \in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ tel que $\sin \theta =x$ .

Autrement dit :

\arcsin x=\theta \Leftrightarrow x=\sin \theta \quad {\text{et}}\quad \theta \in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]

.

Exemples

$\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ et ${\frac {\pi }{3}}\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ donc $\arcsin {\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {\pi }{3}}$ .
$\sin {\frac {2\pi }{3}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ mais $\arcsin {\frac {\sqrt {3}}{2}}\neq {\frac {2\pi }{3}}$ ( ${\frac {2\pi }{3}}\notin \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ ).

La courbe représentative de $\arcsin$ se déduit de celle de la fonction sinus (restreinte à $I_{0}$ ) par une symétrie axiale par rapport à la première bissectrice du repère :

Courbe représentative de

\arcsin

.

Remarques

$\forall \theta \in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\quad \arcsin(\sin \theta )=\theta$ .
$\forall x\in \left[-1,1\right]\quad \sin(\arcsin x)=x$ .

Variations

Puisque $\sin$ est continue et strictement croissante sur $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ , on a :

Propriété

La fonction $\arcsin$ est continue et strictement croissante sur $[-1,1]$ .

Tableau de variation

x

-1

+1

\arcsin x

		$+{\frac {\pi }{2}}$
	$\nearrow$
$-{\frac {\pi }{2}}$

Dérivée

Théorème

La fonction $\arcsin$ est dérivable sur $\left]-1,1\right[$ et

\forall x\in \left]-1,1\right[\quad \arcsin '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}

.

Démonstration

Appliquons le théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque aux bijections ${\displaystyle f=\sin$ et ${\displaystyle f^{-1}=\arcsin$ .

Puisque

\forall \theta \in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[\quad \sin '\theta =\cos \theta \neq 0

,

la fonction $\arcsin$ est dérivable sur $\left]-1,1\right[$ et

\forall x\in \left]-1,1\right[\quad \arcsin '(x)={\frac {1}{\cos(\arcsin x)}}

.

De plus, $\forall \theta \in \mathbb {R} \quad \cos \theta =\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}$ et $\forall \theta \in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[\quad \cos \theta >0$ donc

\forall \theta \in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[\quad \cos \theta =+{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}

,

ce qui se traduit par

\forall x\in \left]-1,1\right[\quad \cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}

.

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