Un réel ${\displaystyle x}$ est solution si et seulement s'il existe ${\displaystyle \alpha \in \left(2\left[0,\pi \right]\right)\cap \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$ tel que :

${\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}=x\quad {\text{et}}\quad \sin \alpha =2x}$.

Or ${\displaystyle \forall \alpha \in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]\quad 2\cos {\frac {\alpha }{2}}\geq {\sqrt {2}}>1\geq \sin \alpha }$.

Il n'y a donc pas de solution.

Un réel ${\displaystyle x}$ est solution si et seulement s'il existe ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}$ tels que

${\displaystyle \tan \alpha =x,\quad \tan \beta =x+1\quad {\text{et}}\quad \alpha +\beta ={\frac {\pi }{4}}}$,

c'est-à-dire s'il existe ${\displaystyle \alpha \in \left]-{\frac {\pi }{4}},{\frac {\pi }{2}}\right[}$ tel que

${\displaystyle \tan \alpha =x\quad {\text{et}}\quad \tan {\left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)}=x+1}$,

ou encore, si

${\displaystyle x\in \left]-1,+\infty \right[\quad {\text{et}}\quad {\frac {1-x}{1+x}}=x+1}$.

Or ${\displaystyle \left(x+1\right)^{2}-\left(1-x\right)=x\left(x+3\right)}$ et ${\displaystyle -3\notin \left]-1,+\infty \right[}$.

La seule solution est donc ${\displaystyle x=0}$.

On vérifie d'abord que ${\displaystyle \arcsin {\frac {1}{3}}+\arccos {\frac {1}{4}}}$ est bien dans [0;π]. Puis on calcule la solution :

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos \left(\arcsin {\frac {1}{3}}+\arccos {\frac {1}{4}}\right)\\&=\cos \left(\arcsin {\frac {1}{3}}\right)\cos \left(\arccos {\frac {1}{4}}\right)-\sin \left(\arcsin {\frac {1}{3}}\right)\sin \left(\arccos {\frac {1}{4}}\right)\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {1-\left({\frac {1}{3}}\right)^{2}}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt {1-\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}}\\&={\frac {\sqrt {2}}{6}}-{\frac {\sqrt {15}}{12}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin {(\tan x)}&=x\Leftrightarrow -{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}{\text{ et }}\tan x=\sin x\\&\Leftrightarrow -{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}{\text{ et }}\left(\sin x=0{\text{ ou }}\cos x=1\right)\\&\Leftrightarrow x=0.\end{aligned}}}$