Le cas ${\displaystyle a=0}$ étant immédiat, supposons désormais ${\displaystyle a\neq 0}$.

1. La fonction ${\displaystyle f}$ est définie sur ${\displaystyle D=\left]-\infty ,1/a\right[\cup \left]1/a,+\infty \right[}$, et dérivable :

   ${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\left({\frac {\left({\frac {a+x}{1-ax}}\right)'}{1+\left({\frac {a+x}{1-ax}}\right)^{2}}}\right)-{\frac {1}{1+x^{2}}}\\&=\left({\frac {\frac {1-ax-(a+x)(-a)}{(1-ax)^{2}}}{\frac {(1-ax)^{2}+(a+x)^{2}}{(1-ax)^{2}}}}\right)-{\frac {1}{1+x^{2}}}\\&={\frac {1+a^{2}}{(1-ax)^{2}+(a+x)^{2}}}-{\frac {1}{1+x^{2}}}\\&={\frac {(1+a^{2})(1+x^{2})-(1-ax)^{2}-(a+x)^{2}}{(1+x^{2})\left((1-ax)^{2}+(a+x)^{2}\right)}}\\&={\frac {(1+a^{2})(1+x^{2})-(1-ax)^{2}-(a+x)^{2}}{(1+x^{2})\left((1-ax)^{2}+(a+x)^{2}\right)}}\\&=0.\end{aligned}}}$

   La fonction ${\displaystyle f}$ est donc constante sur chacune des deux demi-droites (${\displaystyle ax<1}$, ${\displaystyle ax>1}$) dont ${\displaystyle D}$ est la réunion.

2. On en déduit que pour tout ${\displaystyle b}$ tel que ${\displaystyle ab<1}$, ${\displaystyle f(b)=f(0)=\arctan a}$, ce qui prouve l'égalité annoncée.
3. Par passage à la limite quand ${\displaystyle x}$ tend vers l'une des deux bornes (au choix) de la demi-droite ${\displaystyle ax<1}$, on en déduit également :

   ${\displaystyle \arctan a+\arctan {\frac {1}{a}}={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}&{\text{si }}a>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{si }}a<0.\end{cases}}}$

   Puis, lorsque ${\displaystyle ab>1}$, on obtient de même (en calculant, en l'une des deux extrémités au choix, la valeur constante de ${\displaystyle f}$ sur l'autre demi-droite, ${\displaystyle ax>1}$) :

   ${\displaystyle \arctan a+\arctan b=\arctan {\frac {a+b}{1-ab}}+{\begin{cases}+\pi &{\text{si }}a>0\\-\pi &{\text{si }}a<0.\end{cases}}}$

Remarque

Les formules pour ${\displaystyle ab\neq 1}$ ont été démontrées en cours par une méthode bien plus directe, qui permet aussi de démontrer la formule pour ${\displaystyle ab=1}$.