Le losange de côté 1

On se place dans un losange de côté 1.

On nomme ${\displaystyle \alpha }$ un des angles, qui varie entre 0 et ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$.

On a alors dans le triangle ${\displaystyle ACE}$ rectangle en ${\displaystyle E}$ :

${\displaystyle AE=FD=\cos \alpha }$

${\displaystyle CE=BF=\sin \alpha }$

${\displaystyle BE=CF=1-\cos \alpha }$

donc l'aire du losange est :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}_{losange}&={\mathcal {A}}_{ACE}+{\mathcal {A}}_{EBFC}+{\mathcal {A}}_{BFD}\\&={\frac {\cos \alpha \sin \alpha }{2}}+\sin \alpha (1-\cos \alpha )+{\frac {\cos \alpha \sin \alpha }{2}}\\&=\sin \alpha .\end{aligned}}}$

Remarquons enfin que si l'on considère l'angle adjacent à ${\displaystyle \alpha }$, le résultat est encore valable puisque les deux angles on le même sinus.

Donc notre résultat est valable pour un angle ${\displaystyle \alpha }$ variant entre ${\displaystyle 0}$ et ${\displaystyle \pi }$.

Le triangle isocèle de côté 1

On se place dans un triangle de côté 1.

On nomme ${\displaystyle \alpha }$ un des angles, qui varie entre 0 et ${\displaystyle \pi }$.

On a alors dans le triangle ${\displaystyle ADB}$ rectangle en ${\displaystyle D}$ :

${\displaystyle AD=\cos {\frac {\alpha }{2}}}$

${\displaystyle BD=\sin {\frac {\alpha }{2}}}$

donc l'aire du triangle ${\displaystyle ABC}$ est :

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{ABC}=\cos {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}}$.

La formule

En combinant les deux résultats précédents, on obtient :

${\displaystyle \sin \alpha ={\mathcal {A}}_{losange}=2{\mathcal {A}}_{ABC}=2\cos {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}}$.

Preuve sans mots de la formule d'addition pour les sinus.

La figure ci-contre constitue une preuve tout aussi élémentaire de la formule plus générale

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta }$.