1. ${\displaystyle \tan(x)={\frac {\sin x}{\cos x}}}$ est défini si et seulement si ${\displaystyle \cos x\neq 0}$ d'où ${\displaystyle D_{\tan }=\mathbb {R} \setminus \left\{{\frac {\pi }{2}}+k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \right\}=\bigcup _{k\in \mathbb {Z} }\left]{\frac {-\pi }{2}}+k\pi ,{\frac {\pi }{2}}+k\pi \right[}$.

2.

a. Pour tout ${\displaystyle x\in D_{\tan }}$, ${\displaystyle \cos \left(x+\pi \right)=-\cos x\neq 0}$, ce qui prouve que ${\displaystyle x+\pi \in D_{\tan }}$.

De plus, ${\displaystyle \tan(x+\pi )={\frac {\sin(x+\pi )}{\cos(x+\pi )}}={\frac {-\sin x}{-\cos x}}=\tan x}$.

b. La fonction ${\displaystyle \tan }$ est π-périodique (c'est-à-dire périodique de période pi). Géométriquement la courbe ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ se répète dans des translations de vecteur ${\displaystyle k\pi {\vec {i}}}$ où ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$.

c. Il suffit d'étudier ${\displaystyle \tan }$ sur ${\displaystyle \left]{\frac {-\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}$ (intervalle d'amplitude égale à une période, soit pi) puis de translater la courbe obtenue par les translations de vecteur ${\displaystyle k\pi {\vec {i}}}$ où ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$.

3.

a. Pour tout ${\displaystyle x\in D_{\tan }}$, ${\displaystyle \cos(-x)=\cos x\neq 0}$, ce qui prouve que ${\displaystyle -x\in D_{\tan }}$.

De plus, ${\displaystyle \tan(-x)={\frac {\sin(-x)}{\cos(-x)}}={\frac {-\sin x}{\cos x}}=-\tan(x)}$.

La fonction tangente est donc impaire. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ est donc symétrique par rapport à l'origine O du repère.

b. Il suffirait juste d'étudier ${\displaystyle \tan }$ sur ${\displaystyle \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right[}$ puis de construire le symétrique de la courbe obtenue par rapport à O et enfin de translater la nouvelle courbe obtenue par les translations des vecteurs ${\displaystyle k\pi {\vec {i}}}$ où ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$.

4.

• D'après 2a, ${\displaystyle \tan(k\pi +x)=\tan x}$ pour tout ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$.
• D’après 3a, ${\displaystyle \tan(-x)=-\tan x}$.
• Pour x≠0 : ${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)={\frac {\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}{\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}}={\frac {\cos x}{\sin x}}={\frac {1}{\tan x}}}$.
• Pour x≠0 : ${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}+x\right)=\tan \left({\frac {\pi }{2}}+x-\pi \right)=\tan \left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)=-\tan \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=-{\frac {1}{\tan x}}}$.

5.

• ${\displaystyle \tan 0={\frac {\sin 0}{\cos 0}}=0}$
• ${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{3}}\right)={\frac {\sin {\frac {\pi }{3}}}{\cos {\frac {\pi }{3}}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\times 2={\sqrt {3}}}$.
• ${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\pi }{3}}}$ donc ${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{6}}\right)={\frac {1}{\tan \left({\frac {\pi }{3}}\right)}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}}$.
• De même, ${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{4}}\right)={\frac {1}{\tan \left({\frac {\pi }{4}}\right)}}}$ donc (puisque ${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{4}}\right)>0}$) ${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{4}}\right)=1}$.

6. ${\displaystyle \forall x\in D_{\tan }}$, on a ${\displaystyle 1+\tan ^{2}x=1+{\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}}$.