Dérivées des fonctions circulaires

Le théorème suivant sera démontré dans la leçon « Fonctions trigonométriques ».

Théorème

• La fonction ${\displaystyle \cos }$ est dérivable sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle \cos '=-\sin }$.
• La fonction ${\displaystyle \sin }$ est dérivable sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle \sin '=\cos }$.
• La fonction ${\displaystyle \tan }$ est dérivable sur son domaine de définition, ${\displaystyle \bigcup _{k\in \mathbb {Z} }\left]-{\frac {\pi }{2}}+k\pi ,{\frac {\pi }{2}}+k\pi \right[}$, et ${\displaystyle \tan '=1+\tan ^{2}={\frac {1}{\cos ^{2}}}}$.

Exercice

Rappel : soit une fonction g définie par g(x) = f(ax + b) où f est une fonction dérivable, alors g est dérivable et sa dérivée est donnée par :

${\displaystyle g'(x)=af'(ax+b)}$.

Dériver les fonctions suivantes définies sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ :

1. ${\displaystyle f(x)=\cos {(3x+2)}}$ ;
2. ${\displaystyle f(x)=\sin {(2x)}}$ ;
3. ${\displaystyle i(t)=2\cos {(\omega t-\phi )}}$ (exemple d'un courant sinusoïdal dans un circuit, où ${\displaystyle \omega }$ est la « pulsation » et ${\displaystyle \phi }$ la « phase ») ;
4. ${\displaystyle f(x)=\sin {\frac {x}{2}}}$ ;
5. ${\displaystyle f(x)=\cos {(-3x-7)}}$.