Définition

Définition

Soit a un nombre réel fixé.
La fonction linéaire de coefficient a est la fonction qui à tout réel x associe ax, c'est-à-dire:
Pour tout réel x, ${\displaystyle f(x)=ax}$

Remarques:

• ${\displaystyle f(0)=0}$ pour toutes les fonctions linéaires, car ${\displaystyle a\times 0=0}$.

Avec a toujours différent de x ( a est fixé, x est la variable de la fonction ) , dans le cas d'une fonction du type f(x) = x*x ( Qui équivaut à un carré , tout simplement ) nous serions dans le cas d'une parabole .

• Pour ${\displaystyle x,y}$ deux réels, on a :

${\displaystyle f(x+y)=a\times (x+y)}$
${\displaystyle =a\times x+a\times y}$

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$

Exemple : On pose ${\displaystyle f}$ telle que pour tout réel x, ${\displaystyle f(x)=3\times x}$.

On a alors ${\displaystyle f(8)=f(4)+f(4)=f(2)+f(6)}$,

En effet ${\displaystyle f(8)=3\times 8=24,f(4)=3\times 4=12,f(2)=3\times 2=6,f(6)=3\times 6=18}$

• Pour ${\displaystyle x,y}$ deux réels, on a :

${\displaystyle f(x\times y)=a\times (x\times y)}$

${\displaystyle =a\times x\times y}$ (la multiplication est dite associative, l'ordre des opérations ne compte pas)

${\displaystyle =x\times a\times y}$ (la multiplication est commutative, ${\displaystyle a\times b=b\times a}$ )

${\displaystyle =x\times (a\times y)}$

${\displaystyle f(x\times y)=x\times f(y)}$

Exemple : On reprend ${\displaystyle f}$ telle que pour tout réel x, ${\displaystyle f(x)=3\times x}$.

On a alors ${\displaystyle f(8)=2\times f(4)=4\times f(2)=8\times f(1)=0,8\times f(10)}$,

Exemples

${\displaystyle f(x)=2x}$
${\displaystyle g(x)=-5x}$

Représentation graphique

Définition

La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère.
L'équation de sa droite est du type: ${\displaystyle y=ax}$.

Schéma de rédaction:
On sait que la représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère.
Pour tracer une droite, il suffit d’avoir deux points:

${\displaystyle x}$	0	a
${\displaystyle f(x)}$	0	b

Donc la représentation graphique de f est une droite passant par les points O(0;0) et A(a;b).
Représentation graphique: