Fonction logarithme/Dérivée de ln(u)

Exemple

On considère des fonctions de la forme :

$\ln(u)$

où $u$ est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle $I$ . Par exemple, la fonction $f$ définie par :

pour tout

x\in I,~f(x)=\ln(2x+1)

est la fonction composée :

de la fonction affine $u$ définie par pour tout $x\in I,~u(x)=2x+1$ ;
et de la fonction logarithme népérien.

Or, la fonction $\ln$ n'est définie que sur $\left]0,+\infty \right[$ . Pour que $f$ soit définie en $x\in \mathbb {R}$ , il faut et il suffit que $u(x)>0$ , c'est-à-dire $x>-{\frac {1}{2}}$ .

Le domaine de définition de $f$ est alors $I=\left]-{\frac {1}{2}},+\infty \right[$ .

Pour calculer $f'$ , on utilise la formule

pour tout

x\in I,~f'(x)=a\cdot f'(ax+b)

d'où l’expression de la dérivée de $f$ :

pour tout

x\in I,~f'(x)=2\cdot {\frac {1}{2x+1}}={\frac {2}{2x+1}}

.

Ici, $u'(x)=a$ ; on généralise ce procédé au cas où $u$ n’est pas forcément affine :

Théorème et définition

Soit une fonction $f$ définie sur un domaine $I$ par l'expression

pour tout

x\in I,~f(x)=\ln \left|u(x)\right|

où $u$ est dérivable et non nulle sur $I$ , alors $f$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est la dérivée logarithmique de $u$ , c'est-à-dire :

f'={\frac {u'}{u}}

.

La dérivée logarithmique, bien que reliée à la fonction logarithme par ce théorème qui justifie son appellation, est donc définie indépendamment, et ses propriétés algébriques se déduisent directement de celles de la dérivation :

Proposition

Si $u,v$ sont dérivables et non nulles sur $I$ , alors la dérivée logarithmique de leur produit (resp. de leur quotient) est la somme (resp. la différence) de leurs dérivées logarithmiques :

{\frac {(uv)'}{uv}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}

et

{\frac {(u/v)'}{u/v}}={\frac {u'}{u}}-{\frac {v'}{v}}

.

Exercices

Sans se préoccuper du domaine $I$ , dériver les fonctions $f$ suivantes :

1. $f(x)=\ln(x^{2}+1)$

$u(x)=\ldots$
$u'(x)=\ldots$
$f'(x)=\ldots$

2. $f(x)=\ln(2x^{3}+1)$

3. $f(x)=\ln(x^{2}+2x+1)$

4. $f(x)=\ln \left|{\frac {x+2}{4x-2}}\right|$

5. $f(x)=-3\ln(5x^{2}+3)$

6. $f(x)=-3x\cdot \ln(5x^{2}+3)$

Solution

1. $f(x)=\ln(x^{2}+1)$

$u(x)=x^{2}+1$
$u'(x)=2x$
$f'(x)={\frac {2x}{x^{2}+1}}$

2. $f(x)=\ln(2x^{3}+1)$

$u(x)=2x^{3}+1$
$u'(x)=6x^{2}$
$f'(x)={\frac {6x^{2}}{2x^{3}+1}}$

3. $f(x)=\ln(x^{2}+2x+1)$

$u(x)=x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}=|v(x)|^{2}$ donc $f'=2{\frac {v'}{v}}$ .

$v(x)=x+1$
$v'(x)=1$
$f'(x)={\frac {2}{x+1}}$

4. $\ln \left|{\frac {x+2}{4x-2}}\right|$

$u(x)={\frac {x+2}{4x-2}}={\frac {v(x)}{w(x)}}$ donc $f'={\frac {v'}{v}}-{\frac {w'}{w}}$ .

$v(x)=x+2$
$v'(x)=1$
$w(x)=4x-2$
$w'(x)=4$

${\begin{aligned}f'(x)&={\frac {v'(x)}{v(x)}}-{\frac {w'(x)}{w(x)}}\\&={\frac {1}{x+2}}-{\frac {4}{4x-2}}\\&={\frac {(4x-2)-4(x+2)}{(4x-2)(x+2)}}\\&={\frac {-10}{(4x-2)(x+2)}}.\end{aligned}}$

5. $f(x)=-3\ln(5x^{2}+3)$

$u(x)=5x^{2}+3$
$u'(x)=10x$
$f'(x)={\frac {-30x}{5x^{2}+3}}$

6. $f(x)=-3x\cdot \ln(5x^{2}+3)=u(x)\cdot v(x)$

${\begin{aligned}f'(x)&=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\\&=-3\ln(5x^{2}+3)-{\frac {30x^{2}}{5x^{2}+3}}\end{aligned}}$

Morale

La dérivée logarithmique d'un produit est la somme des dérivées logarithmiques des facteurs, et l'on a des règles analogues pour un quotient ou une puissance.

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