Fonction génératrice/Somme de deux variables aléatoires

Comme on l’a vu dans un chapitre précédent, si X et Y sont indépendantes, G_X+Y(t) = G_X(t)G_Y(t). Cette propriété nous permet de trouver facilement la fonction génératrice de la somme de deux variables aléatoires indépendantes connaissant la fonction génératrice de chacune d’elles.

Dans ce chapitre, nous allons donc étudier les cas les plus courants de sommes de deux variables aléatoires indépendantes.

Somme de deux lois binomiales

Théorème

La somme de variables binomiales indépendantes de paramètres respectifs (n₁, p) et (n₂, p) suit une loi binomiale de paramètre (n₁ + n₂, p).

Démonstration

Notons X et Y ces deux variables. Alors :

\forall t\in \mathbb {R} \qquad G_{X}(t)=(pt+1-p)^{n_{1}}

\forall t\in \mathbb {R} \qquad G_{Y}(t)=(pt+1-p)^{n_{2}}

et par conséquent :

{\begin{aligned}G_{X+Y}&=G_{X}(t)G_{Y}(t)\\&=(pt+1-p)^{n_{1}}(pt+1-p)^{n_{2}}\\&=(pt+1-p)^{n_{1}+n_{2}}.\end{aligned}}

Somme de deux lois de Poisson

Théorème

La somme de deux variables de Poisson indépendantes de paramètres respectifs λ₁ et λ₂ suit une loi de Poisson de paramètre λ₁ + λ₂.

Démonstration

Notons X et Y ces deux variables. Alors :

\forall t\in \mathbb {R} \qquad G_{X}(t)=e^{\lambda _{1}(t-1)}

\forall t\in \mathbb {R} \qquad G_{Y}(t)=e^{\lambda _{2}(t-1)}

et par conséquent :

{\begin{aligned}G_{X+Y}&=G_{X}(t)G_{Y}(t)\\&=e^{\lambda _{1}(t-1)}e^{\lambda _{2}(t-1)}\\&=e^{(\lambda _{1}+\lambda _{2})(t-1)}.\end{aligned}}

Somme de deux lois binomiales négatives

Théorème

La somme de deux variables binomiales négatives indépendantes de paramètres respectifs (r₁, p) et (r₂, p) suit une loi binomiale négative de paramètre (r₁ + r₂, p).

Démonstration

Notons X et Y ces deux variables. Alors :

\forall t\in \mathbb {R} \qquad G_{X}(t)=\left({\frac {p}{pt-t+1}}\right)^{r_{1}}

\forall t\in \mathbb {R} \qquad G_{Y}(t)=\left({\frac {p}{pt-t+1}}\right)^{r_{2}}

et par conséquent :

{\begin{aligned}G_{X+Y}&=G_{X}(t)G_{Y}(t)\\&=\left({\frac {p}{pt-t+1}}\right)^{r_{1}}\left({\frac {p}{pt-t+1}}\right)^{r_{2}}\\&=\left({\frac {p}{pt-t+1}}\right)^{r_{1}+r_{2}}.\end{aligned}}

Somme de deux lois de Pascal

Corollaire

La somme de deux variables de Pascal indépendantes de paramètres respectifs (r₁, p) et (r₂, p) suit une loi de Pascal de paramètre (r₁ + r₂, p).

En effet, comme déjà remarqué au chapitre précédent, la loi de Pascal de paramètre (r, p) est simplement la translatée par r de la loi binomiale négative de même paramètre.

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