Loi de Bernoulli

Si X suit une loi de Bernoulli ${\displaystyle X\sim {\mathcal {B}}(1,p)}$, c'est-à-dire si

${\displaystyle p(X=1)=p\qquad p(X=0)=1-p}$,

alors :

${\displaystyle G_{X}(t)=\sum _{k=0}^{1}p(X=k)t^{k}=(1-p)t^{0}+pt}$

donc

Nous obtenons alors :

${\displaystyle G_{X}'(t)=p\qquad \qquad G_{X}''(t)=0}$.

Nous en déduisons :

${\displaystyle \mathbb {E} (X)=G_{X}'(1)=p}$

et

${\displaystyle V(X)=G_{X}''(1)+G_{X}'(1)-\left(G_{X}'(1)\right)^{2}=0+p-p^{2}=p(1-p)}$.

Loi binomiale

Si X suit une loi binomiale X ▬▶ B(n,p), c'est-à-dire si

${\displaystyle \forall k\in [\![0,n]\!]\qquad p(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$

ou encore, si

X est la somme de n variables de Bernoulli indépendantes ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ de même paramètre p,

alors :

${\displaystyle G_{X}(t)=G_{X_{1}}(t)\dots G_{X_{n}}(t)}$

donc

Nous obtenons alors :

${\displaystyle G_{X}'(t)=np(pt+1-p)^{n-1}\qquad \qquad G_{X}''(t)=np^{2}(n-1)(pt+1-p)^{n-2}}$.

On retrouve ainsi :

${\displaystyle \mathbb {E} (X)=G_{X}'(1)=np(p+1-p)^{n-1}=np}$

et

${\displaystyle {\begin{aligned}V(X)&=G_{X}''(1)+G_{X}'(1)-\left(G_{X}'(1)\right)^{2}=np^{2}(n-1)(p+1-p)^{n-2}+np-(np)^{2}\\&=np^{2}(n-1)+np-(np)^{2}=np-np^{2}=np(1-p).\end{aligned}}}$

Loi de Poisson

Si X suit une loi de Poisson X ${\displaystyle \sim P(\lambda )}$, c'est-à-dire si

${\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} \qquad p(X=k)=e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}$,

alors :

${\displaystyle G_{X}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }p(X=k)t^{k}=e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\lambda t)^{k}}{k!}}=e^{-\lambda }e^{\lambda t}}$

donc

Nous obtenons alors :

${\displaystyle G_{X}'(t)=\lambda e^{\lambda (t-1)}\qquad \qquad G_{X}''(t)=\lambda ^{2}e^{\lambda (t-1)}}$.

On retrouve ainsi :

${\displaystyle \mathbb {E} (X)=G_{X}'(1)=\lambda e^{\lambda (1-1)}=\lambda }$

et

${\displaystyle V(X)=G_{X}''(1)+G_{X}'(1)-\left(G_{X}'(1)\right)^{2}=\lambda ^{2}+\lambda -\lambda ^{2}=\lambda }$.

Loi géométrique

Si X suit une loi géométrique ${\displaystyle X\sim G(p)}$, c'est-à-dire si

${\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} ^{*}\qquad p(X=k)=(1-p)^{k-1}p}$,

alors :

${\displaystyle G_{X}(t)=\sum _{k=1}^{\infty }p(X=k)t^{k}={\frac {p}{1-p}}\sum _{k=1}^{\infty }(t-pt)^{k}={\frac {p}{1-p}}{\frac {t-pt}{1-t+pt}}}$

donc

Nous obtenons alors :

${\displaystyle G_{X}'(t)={\frac {p}{(pt-t+1)^{2}}}\qquad \qquad G_{X}''(t)={\frac {2p(1-p)}{(pt-t+1)^{3}}}}$.

On retrouve ainsi :

${\displaystyle \mathbb {E} (X)=G_{X}'(1)={\frac {1}{p}}}$

et

${\displaystyle V(X)=G_{X}''(1)+G_{X}'(1)-\left(G_{X}'(1)\right)^{2}={\frac {2(1-p)}{p^{2}}}+{\frac {1}{p}}-\left({\frac {1}{p}}\right)^{2}={\frac {1-p}{p^{2}}}}$.

Loi uniforme

Si X suit une loi uniforme X ▬▶ U〚1, n〛, c'est-à-dire si

${\displaystyle \forall k\in [\![1,n]\!]\qquad p(X=k)={\frac {1}{n}}}$,

alors :

${\displaystyle G_{X}(t)=\sum _{k=1}^{n}p(X=k)t^{k}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}t^{k}}$

donc

Nous obtenons alors :

${\displaystyle \forall t\neq 1\quad G_{X}'(t)={\frac {1-(n+1)t^{n}+nt^{n+1}}{n(1-t)^{2}}}}$ donc (par continuité de ${\displaystyle G'_{X}}$ et à l'aide d'un développement limité du numérateur) ${\displaystyle G_{X}'(1)={\frac {n+1}{2}}}$ ;

${\displaystyle \forall t\neq 1\quad G_{X}''(t)={\frac {-n(n-1)t^{n+1}+2(n^{2}-1)t^{n}-n(n+1)t^{n-1}+2}{n(1-t)^{3}}}}$ donc de même, ${\displaystyle G_{X}''(1)={\frac {n^{2}-1}{3}}}$.

On retrouve ainsi :

${\displaystyle \mathbb {E} (X)=G_{X}'(1)={\frac {n+1}{2}}}$

et

${\displaystyle V(X)=G_{X}''(1)+G_{X}'(1)-\left(G_{X}'(1)\right)^{2}={\frac {n^{2}-1}{3}}+{\frac {n+1}{2}}-\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{2}-1}{12}}}$.

Loi hypergéométrique

Si X suit une loi hypergéométrique X ▬▶ H(N, n, p), c'est-à-dire si

${\displaystyle \forall k\in [\![0,n]\!]\qquad p(X=k)={\frac {{\binom {Np}{k}}{N(1-p) \choose n-k}}{\binom {N}{n}}}}$,

alors :

${\displaystyle G_{X}(t)=\sum _{k=0}^{n}p(X=k)t^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {{\binom {Np}{k}}{N(1-p) \choose n-k}}{\binom {N}{n}}}t^{k}}$.

Compte tenu de l’aspect peu sympathique de cette fonction, nous arrêterons là les calculs.

Loi binomiale négative

Si X suit une loi binomiale négative X ▬▶ J(r, p), c'est-à-dire si

${\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} \qquad p(X=k)={k+r-1 \choose r-1}p^{r}(1-p)^{k}}$

(cette variable aléatoire donne, dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes, le nombre d’échecs avant le r-ième succès),

alors :

${\displaystyle G_{X}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }p(X=k)t^{k}=p^{r}\sum _{k=0}^{\infty }{k+r-1 \choose r-1}(t-pt)^{k}}$

donc

Nous obtenons alors :

${\displaystyle G_{X}'(t)={\frac {rp^{r}(1-p)}{\left(pt-t+1\right)^{r+1}}}\qquad \qquad G_{X}''(t)={\frac {r(r+1)p^{r}(1-p)^{2}}{\left(pt-t+1\right)^{r+2}}}}$.

On retrouve ainsi :

${\displaystyle \mathbb {E} (X)=G_{X}'(1)={\frac {r(1-p)}{p}}}$

et

${\displaystyle V(X)=G_{X}''(1)+G_{X}'(1)-\left(G_{X}'(1)\right)^{2}={\frac {r(r+1)(1-p)^{2}}{p^{2}}}+{\frac {r(1-p)}{p}}-\left({\frac {r(1-p)}{p}}\right)^{2}={\frac {r(1-p)}{p^{2}}}}$.

Loi de Pascal

Si Y suit une loi de Pascal X ▬▶ P(r, p), c'est-à-dire si

${\displaystyle \forall k\in [\![r,+\infty [\![\qquad p(Y=k)={k-1 \choose r-1}p^{r}(1-p)^{k-r}}$

(cette variable aléatoire donne, dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes, le rang d’apparition du r-ième succès),

alors Y = X + r où X suit la loi binomiale négative ci-dessus. Par conséquent :

• ${\displaystyle G_{Y}(t)=t^{r}G_{X}(t)=\left({\frac {pt}{pt-t+1}}\right)^{r}}$ ;
• ${\displaystyle \mathbb {E} (Y)=\mathbb {E} (X)+r={\frac {r}{p}}}$ ;
• ${\displaystyle V(Y)=V(X)={\frac {r(1-p)}{p^{2}}}}$.