Exercice 1-1
Calculer le carré de la série formelle , puis vérifier que son produit par est bien égal à .
.
.
Retrouver ce résultat par dérivation formelle.
.
Exercice 1-2
Soit la suite définie par et .
- On pose . Montrer que .
- Montrer que .
- En utilisant l'exercice précédent, en déduire une expression explicite de .
- La vérifier par récurrence.
- se réécrit , d'où le résultat.
- D'après la question précédente, donc . On vérifie que , d'où le résultat.
- D'après la question précédente, donc .
- Cette égalité est bien vérifiée pour et pour et si, pour un certain , elle l'est pour et , alors elle l'est pour car .
Exercice 1-3
Reprendre la méthode précédente pour déterminer l’expression explicite du terme général de la suite définie par et .
On pose .
se réécrit
, soit
, donc
et
(que l'on peut vérifier par récurrence).
Exercice 1-4
I) Pour tout entier , on pose :
- .
Démontrer par récurrence, de deux façons, que :
- en utilisant que ;
- en utilisant que .
II) On considère la suite des polynômes de Tchebychev de seconde espèce,
(cf. Sommation/Exercices/Formule du binôme#Exercice 5-11). À l'aide de la question I, montrer que sa série génératrice,
- , est égale à .
III) Pour tous entiers naturels m, n, en développant de deux façons , déduire de la question I que pour tout entier r ≥ m + n,
- .
- La formule est déjà vraie pour , avec par convention . Elle est héréditaire car
- (on a utilisé la formule de Pascal).
- Remarque
- En initialisant la récurrence à , on vient de redémontrer le cas particulier bien connu . Inversement, on peut s'appuyer sur ce cas pour n'initialiser la récurrence qu'à .
- On démarre la récurrence à . L'initialisation est acquise (cf. ci-dessus) et pour l'hérédité, on utilise l'indication, jointe au fait que
D'après la question I,
donc
c'est-à-dire
ou encore :
- .
Pour une preuve combinatoire du III, voir la question II de Sommation/Exercices/Sommations plus compliquées#Exercice 7-1.
Exercice 1-5
Cet exercice constitue la démonstration par Euler (en 1773) de la formule du binôme généralisée, dans le cas d'un exposant rationnel.
On définit (pour tout ) les coefficients binomiaux généralisés :
- ,
puis la série formelle
- .
Pour tous réels (et tout ), on note le -ième coefficient de la série formelle produit :
- .
- Vérifier que si alors .
- Démontrer que est un polynôme en et (à coefficients rationnels).
- Déduire des deux questions précédentes que (pour tout ), donc .
- En déduire que , en commençant par traiter le cas .
- Si alors, d'après la formule du binôme usuelle, .
- .
- Le polynôme s'annule sur donc c'est le polynôme nul. On peut détailler : pour tout , est nul car il a une infinité de racines (tous les entiers naturels) ; donc le polynôme , vu comme polynôme en à coefficients dans , est nul car, de même, il a une infinité de racines .
- D'après la question précédente (et la question 1), et , donc .
- Remarque
- Si , d'après le critère de D'Alembert, le rayon de convergence de la série entière associée à est égal à .
- Références
-
- Ranjan Roy, Sources in the Development of Mathematics: Series and Products from the Fifteenth to the Twenty-first Century, Cambridge University Press, 2011 [lire en ligne], chap.4.3 (« Euler's proof for rational indices ») ;
- L. Euler, « Demonstratio theorematis Neutoniani de evolutione potestatum binomii pro casibus, quibus exponentes non sunt numeri integri », Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, vol. 19, 1775, p. 103-111 [texte intégral] (E465, présenté à l'Académie de Saint-Pétersbourg le 1er juillet 1773).
- Cette preuve est moins bien expliquée sur xymaths.free.fr, et carrément comprise de travers par R. F. Muirhead, « Against Euler's proof of the binomial theorem for negative and fractional exponents », Proc. Edinburgh Math. Soc., vol. 17, 1898, p. 38-41 [lien DOI].