On nomme C la courbe représentative de la fonction exponentielle dans un repère orthonormé.

et D la droite d'équation ${\displaystyle y={\frac {1}{2}}x}$ dans ce même repère.

L'objectif de cette activité est de déterminer la plus petite distance entre C et D.

Conjectures

1.a) Tracer C et D avec un logiciel adapté.

b) Emettre une conjecture concernant leurs positions relatives.

c) Soit ${\displaystyle a}$ un nombre réel, et soit M le point de C d'abscisse ${\displaystyle a}$.

Soit ${\displaystyle d(a)}$ la distance de M à la droite D.

Placer M et faire varier le point M sur C.

Afficher les valeurs de ${\displaystyle d(a)}$ correspondantes.

d) Emettre une conjecture concernant les valeurs de ${\displaystyle a}$ minimisant ${\displaystyle d(a)}$.

e) Tracer point par point la courbe représentative de ${\displaystyle d(a)}$.

Démonstrations

2.a) Démontrer la conjecture 1.a)

b) Déterminer en fonction de ${\displaystyle a}$ la distance ${\displaystyle d(a)}$ de M à la droite D.

c)Donner une condition nécessaire pour que ${\displaystyle d(a)}$ soit minimale.

d) Déterminer les valeurs de ${\displaystyle a}$ vérifiant cette condition.

e) Démontrer la conjecture 1.d).

f) En quoi cette étude résout-elle le problème de départ ?