Fonction exponentielle/L'exponentielle comme solution d'une équation différentielle

Exponentielle et équation différentielle

Théorème et définition

Il existe une unique fonction dérivable de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$ , appelée fonction exponentielle et notée exp qui vérifie :

$\exp(0)=1$
Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~\exp '(x)=\exp(x)$

Autrement dit, l'exponentielle est la seule fonction qui est égale à sa propre dérivée et qui vaut 1 en 0.

L'existence, admise à ce niveau, peut être démontrée par de nombreuses méthodes, dont aucune n'est élémentaire. Un exercice de niveau 15 propose une démonstration à l'aide des suites.

L'unicité sera généralisée et démontrée plus bas. La preuve d'unicité montrera de plus que pour tout réel x, exp(x)exp(–x) = 1. En particulier, exp(x) ≠ 0.

Calculatrice

Pour prendre l'exponentielle d'un nombre, on utilise la touche « e^x ».

On effectue souvent cette opération en utilisant le préfixe « seconde » ou « shift » suivi de la touche ln.

Exemples

Cas général

Théorème

Pour tout réel $k$ , la fonction $x\mapsto \exp(kx)$ est l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb {R}$ telle que $f'=kf$ et $f(0)=1$ .
Cette fonction vérifie : $\forall x\in \mathbb {R} \quad f(x)f(-x)=1$ .

Démonstration

La fonction $f_{0}:x\mapsto \exp(kx)$ vérifie évidemment $f'_{0}=kf_{0}$ et $f_{0}(0)=1$ .
Réciproquement, soit $f$ une fonction telle que $f'=kf$ et $f(0)=1$ . Posons $g(x)=f(x)f_{0}(-x)$ . Alors, d’après les règles usuelles de dérivation,
$\forall x\in \mathbb {R} \quad g'(x)=f'(x)f_{0}(-x)-f(x)f'_{0}(-x)=\left(kf(x)\right)f_{0}(-x)-f(x)\left(kf_{0}(-x)\right)=0$
donc $g$ est constante, égale à sa valeur en $0$ c'est-à-dire à $1$ , ce qui prouve que
$\forall x\in \mathbb {R} \quad f(x)f_{0}(-x)=1$ .
En particulier, $\forall x\in \mathbb {R} \quad f_{0}(x)f_{0}(-x)=1$ .
On déduit de ces deux points que $f=f_{0}$ .

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