Racine n-ième

Définition

Soit x un réel positif et n un entier strictement positif. On définit ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$, également noté ${\displaystyle x^{\frac {1}{n}}}$, comme l'unique réel positif dont la puissance n-ième vaut x.

Propriétés algébriques

Pour tous réels positifs x et y et tous entiers strictement positifs m et n :

• ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}{\sqrt[{n}]{y}}={\sqrt[{n}]{xy}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\sqrt[{n}]{x}}{\sqrt[{n}]{y}}}={\sqrt[{n}]{\frac {x}{y}}}}$ (si y ≠ 0)
• ${\displaystyle {\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{x}}}={\sqrt[{mn}]{x}}}$
• ${\displaystyle \left({\sqrt[{n}]{x}}\right)^{m}={\sqrt[{n}]{x^{m}}}}$

Cette dernière propriété se réécrit ${\displaystyle \left(x^{1/n}\right)^{m}=(x^{m})^{1/n}}$. Ce nombre se note aussi ${\displaystyle x^{m/n}}$ et son inverse (si x ≠ 0) se note ${\displaystyle x^{-m/n}}$, ce qui ne dépend pas de la représentation fractionnaire choisie pour ${\displaystyle r}$, et étend à tous les rationnels r la notation ${\displaystyle x^{r}}$. On vérifie que cette notation est compatible avec les propriétés déjà connues sur les exposants entiers ou inverses d'entiers. En particulier :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \forall u,v\in \mathbb {Q} \quad x^{u+v}=x^{u}\times x^{v}}$.

Fonction racine n-ième

Théorème

• La fonction ${\displaystyle f_{n}:[0,+\infty [\to [0,+\infty [,x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}}$ est la réciproque de la bijection ${\displaystyle [0,+\infty [\to [0,+\infty [,x\mapsto x^{n}.}$
• Elle est continue sur ${\displaystyle [0,+\infty [}$, dérivable sur ${\displaystyle ]0,+\infty [}$ et ${\displaystyle f_{n}'(x)={\frac {1}{n({\sqrt[{n}]{x}})^{n-1}}}={\frac {1}{n}}x^{{\frac {1}{n}}-1}.}$
• Elle est strictement croissante sur ${\displaystyle [0,+\infty [}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\sqrt[{n}]{x}}=+\infty }$
• ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{0}}=0}$