Pour tout réel ${\displaystyle a}$ strictement positif, on appelle fonction exponentielle de base ${\displaystyle a}$ la fonction définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par ${\displaystyle \exp _{a}:x\mapsto a^{x}=\exp(x\ln a).}$

• La fonction ${\displaystyle \ln$ :\mathbb {R} _{+}^{*}\to \mathbb {R} } est implicitement définie ici comme la bijection réciproque de la fonction ${\displaystyle \exp }$ — elle-même définie par une équation différentielle (chap. 1) et bijective de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ (chap. 4). En particulier, par définition du nombre e, ${\displaystyle \ln(\mathrm {e} )=1}$ donc ${\displaystyle \exp _{\mathrm {e} }=\exp }$.
• Généralisant la notation ${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}}$ pour ${\displaystyle \exp(x)}$ (chap. 3), la notation ${\displaystyle a^{x}}$ pour ${\displaystyle \exp _{a}(x)}$ étend de même aux exposants réels celle des puissances d'exposant rationnel (chap. 7), de façon compatible d'après les propriétés algébriques de l'exponentielle : le nombre ${\displaystyle a}$ élevé à une puissance rationnelle ${\displaystyle r}$ est bien égal à ${\displaystyle \exp _{a}(r)}$.

En chimie, le pH est relié à la concentration en ions oxonium H₃O⁺ par la relation ${\displaystyle [H_{3}O^{+}]=10^{-pH}}$.

On a affaire à une exponentielle de base 10.

Pour tous réels ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ strictement positifs et pour tous réels ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ :

1. ${\displaystyle a^{x+y}=a^{x}a^{y}}$ ;
2. ${\displaystyle (ab)^{x}=a^{x}b^{x}}$ ;
3. ${\displaystyle (a^{x})^{y}=a^{xy}}$.

La fonction ${\displaystyle \exp _{a}:x\mapsto a^{x}}$ est dérivable sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \exp _{a}'(x)=a^{x}\ln(a)}$.