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Méthode générale
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On prend le pour faire « descendre » l’exposant.
Lorsqu'on manipule des inégalités, il faut prendre garde au changement de sens éventuel de l'inégalité si l'on est amené à diviser par le logarithme d'un nombre inférieur à 1, car un tel logarithme est négatif.
Équations
Exercice 1
Existe-t-il un entier tel que ?
. Ou moins savamment : en divisant 14348907 15 fois de suite par 3, on finit par tomber sur 1.
Exercice 2
Résoudre dans l'équation .
.
Exercice 3
Résoudre dans l'équation .
.
Exercice 4
Résoudre dans l'équation .
Exercice 5
On note les pressions atmosphériques, un jour donné, aux altitudes 0, 100, 200, et 1 000 mètres.
La pression atmosphérique diminue approximativement de 1 % lorsqu’on s’élève de 100 mètres. Ce jour-là, 1 000 hP.
- 1. Calculer en fonction de . Que représente ce nombre ?
- 2. Déterminer, en fonction de l’altitude en centaines de mètres, la pression .
- 3. Le baromètre d’un ermite marque 950 hP. À quelle altitude se trouve-t-il ?
- 1. . Ce nombre représente la pression à l'altitude 100n mètres
- 2. .
- 3.
- L'ermite se trouve donc à environ 510 mètres.
Inéquations
ln est croissante. On peut donc prendre le ln des deux membres d'une inégalité sans changer le sens de l’inégalité.
Exercice 6
Résoudre dans l'inéquation .
donc on peut diviser par ce nombre sans changer le sens de l’inégalité. On obtient :
- .
L'ensemble des solutions est : .
Exercice 7
Résoudre dans l'inéquation .
donc il faut changer le sens de l’inégalité en divisant par ce nombre. On obtient :
- .
L'ensemble des solutions est : .
Exercice 8
Résoudre dans l'inéquation .
donc on peut diviser par ce nombre sans changer le sens de l’inégalité. On obtient :
- .
L'ensemble des solutions est : .
Exercice 9
Résoudre dans l'inéquation .
donc il faut changer le sens de l’inégalité en divisant par ce nombre. On obtient :
- .
L'ensemble des solutions est : .
Exercice 10
Un capital de 2 000 € est placé à intérêts composés à un taux annuel de 10 %.
Combien d'années faudra-t-il pour que la somme placée dépasse 13 454 € ?
donc le placement dépassera les 13 454 € au bout de 20 ans.
Exercice 11
Deux capitaux sont placés simultanément à intérêts composés : le premier de 35 000 € à 12 % l’an, le second de 40 000 € à 9 % l’an. Calculer le nombre d’années à partir duquel le premier placement dépassera le second.
Au terme de l'année i, les placements vaudront :
- pour le premier placement
- pour le deuxième placement
On cherche à déterminer à partir de quelle valeur de i on aura
Soit
On a .
Le premier placement dépassera donc le second au bout de 5 ans.
Exercice 12
Combien de chiffres le nombre possède-t-il ?
Soit son nombre de chiffres.
.