La « vitesse de désintégration » d'un corps radioactif, c'est-à-dire le nombre de noyaux qui se désintègrent pendant une seconde,

est proportionnelle au nombre de noyaux ${\displaystyle N(t)}$ présent à l'instant t.

On peut donc écrire :

${\displaystyle {\frac {dN(t)}{dt}}=-\lambda N(t)}$

où ${\displaystyle \lambda }$ est une constante strictement positive, caractéristique du noyau étudié.

La loi de désintégration

On note ${\displaystyle N_{0}}$ le nombre de noyaux d'un échantillon du corps radioactif à l'instant ${\displaystyle t=0}$.

Montrer que pour tout réel t, ${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}}$.

C'est la loi de désintégration radioactive.

Solution

On retrouve une équation différentielle de la forme y'=ay la solution N(t) de l'équation est donc de la forme ${\displaystyle N(t)=ke^{at}}$ donc ${\displaystyle N(t)=ke^{-\lambda t},k\in R}$
(On peut aussi rappeler la définition du chapitre 1 : cas général)

${\displaystyle {\begin{matrix}Or\,N_{0}&=&N(0)\\\ &=&ke^{0}\\\ &=&k\end{matrix}}}$

Donc ${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}}$.

 

Étude de la fonction N

1. Étudier le sens de variation de la fonction N sur ${\displaystyle [0;+\infty [}$.

2. Étudier la limite de la fonction N en ${\displaystyle +\infty }$.

3. Dresser le tableau de variation de la fonction N.

Exemples

1. Avec t en milliers d'années la constante caractéristique du carbone 14 est ${\displaystyle \lambda =0,121}$.

Tracer sur la calculatrice la représentation graphique de la fonction ${\displaystyle f(t)=e^{-0,121t}}$ sur ${\displaystyle [0;20[}$.

2. Utiliser la fonction trace pour déterminer la période de demi-vie,

c'est-à-dire le temps au bout duquel il ne reste que la moitié du carbone.

3. Pour l'uranium-238, ${\displaystyle \lambda =0,154.10^{-6}s^{-1}}$ et pour l'iode-131, ${\displaystyle \lambda =31625s^{-1}}$.

Déterminer leur période de demi-vie à l'aide de la calculatrice.