1. Étudier les variations de ƒ.

ƒ est dérivable sur ${\displaystyle [0;+\infty [}$ et, pour tout ${\displaystyle x\in [0;+\infty [}$ :

${\displaystyle f'(x)=-1-(-1)\times e^{-x}=e^{-x}-1}$

Or, pour tout ${\displaystyle x\in [0;+\infty [,~e^{-x}\leq 1}$ donc ${\displaystyle f'(x)\leq 0}$

2. Étudier la limite de ƒ en ${\displaystyle +\infty }$.

• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }-x+{\frac {5}{2}}=-\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }e^{-x}=0}$

3. Démontrer que la courbe représentative ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ de ƒ admet une asymptote oblique ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

On remarque que l’expression de ƒ admet deux membres :

• une partie affine : ${\displaystyle x\mapsto -x+{\frac {5}{2}}}$
• une partie qui tend vers 0 : ${\displaystyle x\mapsto e^{-x}}$

Si on pose ${\displaystyle g:x\mapsto -x+{\frac {5}{2}}}$, définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et de représentation graphique ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, on a :

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)-g(x)=0}$

4. Étudier les positions relatives de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$.

Pour tout ${\displaystyle x\in [0;+\infty [,f(x)-g(x)=-e^{-x}}$, grandeur négative.

5. Déterminer une équation de la tangente à ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ au point d'abscisse 2.

D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ au point d'abscisse 2 est :

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=f(2)+f'(2)\cdot (x-2)\\&=-2+{\frac {5}{2}}-e^{-2}+(-1+e^{-2})\cdot (x-2)\\&={\frac {1}{2}}-e^{-2}+(-1+e^{-2})\cdot (x-2)\\&={\frac {1}{2}}-e^{-2}-x+2+e^{-2}x-2e^{-2}\\&=(e^{-2}-1)x-3e^{-2}+{\frac {5}{2}}\\\end{aligned}}}$

1. Étudier les variations de ƒ.

ƒ est dérivable sur ${\displaystyle [0;+\infty [}$ et, pour tout ${\displaystyle x\in [0;+\infty [}$ :

${\displaystyle f'(x)=2+2\times (-1)e^{-x}=2(1-e^{-x})}$

Or, pour tout ${\displaystyle x\in [0;+\infty [,~e^{-x}\leq 1}$ donc ${\displaystyle f'(x)\geq 0}$

2. Étudier la limite de ƒ en ${\displaystyle +\infty }$.

• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }2x-{\frac {5}{2}}=+\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }2e^{-x}=0}$

3. Démontrer que la courbe représentative ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ de ƒ admet une asymptote oblique ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

On remarque que l’expression de ƒ admet deux membres :

• une partie affine : ${\displaystyle x\mapsto 2x-{\frac {5}{2}}}$
• une partie qui tend vers 0 : ${\displaystyle x\mapsto 2e^{-x}}$

Si on pose ${\displaystyle g:x\mapsto 2x-{\frac {5}{2}}}$, définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et de représentation graphique ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, on a :

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)-g(x)=0}$

4. Étudier les positions relatives de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$.

Pour tout ${\displaystyle x\in [0;+\infty [,f(x)-g(x)=2e^{-x}}$, grandeur positive.

5. Déterminer une équation de la tangente à ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ au point d'abscisse 2.

D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ au point d'abscisse 2 est :

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=f(2)+f'(2)\cdot (x-2)\\&=2\times 2-{\frac {5}{2}}+2e^{-2}+2(1-e^{-2})(x-2)\\&={\frac {3}{2}}+2e^{-2}+2((1-e^{-2})x-2(1-e^{-2}))\\&=-{\frac {5}{2}}+6e^{-2}+2(1-e^{-2})x\\\end{aligned}}}$

Ces quatre fonctions sont définies et dérivables sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

1. ${\displaystyle f_{1}:x\mapsto (3x-2)e^{x}}$

• Cette fonction se dérive comme un produit.
  • On pose sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ les fonctions ${\displaystyle u:x\mapsto (3x-2)}$ et ${\displaystyle v:x\mapsto e^{x}}$
  • Leurs dérivées sont définies par ${\displaystyle u':x\mapsto 3}$ et ${\displaystyle v':x\mapsto e^{x}}$
  • Finalement, pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{1}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3x+1)e^{x}}$

2. ${\displaystyle f_{2}:x\mapsto {\frac {x^{2}}{e^{-x}}}}$

• Cette fonction peut se dériver comme un quotient, mais une manipulation élémentaire permet de tout ramener au numérateur et ainsi simplifier le calcul de la dérivée.
  • On remarque que pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f_{2}(x)={\frac {x^{2}}{e^{-x}}}=x^{2}e^{x}}$
  • On pose sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ les fonctions ${\displaystyle u:x\mapsto x^{2}}$ et ${\displaystyle v:x\mapsto e^{x}}$
  • Leurs dérivées sont définies par ${\displaystyle u':x\mapsto 2x}$ et ${\displaystyle v':x\mapsto e^{x}}$
  • Finalement, pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{2}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(x^{2}+2x)e^{x}=x(x+2)e^{x}}$

3. ${\displaystyle f_{3}:x\mapsto 3xe^{-3x}}$

• On va utiliser ce théorème de niveau 11
  • On pose sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ les fonctions ${\displaystyle u:x\mapsto 3x}$ et ${\displaystyle v:x\mapsto e^{-3x}}$
  • Leurs dérivées sont définies par ${\displaystyle u':x\mapsto 3}$ et ${\displaystyle v':x\mapsto -3e^{-3x}}$
  • Finalement, pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{3}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3+3x\times (-3))e^{-3x}=3(-3x+1)e^{-3x}}$

4. ${\displaystyle f_{4}:x\mapsto {\frac {7xe^{-x}}{3}}}$

• La dérivation de cette fonction nécessite le théorème de dérivation d'une fonction composée.
  • On a ${\displaystyle f_{4}:x\mapsto {\frac {7}{3}}xe^{-x}}$
  • On pose sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ la fonction ${\displaystyle u:x\mapsto xe^{-x}}$
  • On dérive ${\displaystyle f_{4}}$ selon ${\displaystyle (ku)'=ku'}$ :
    • La dérivée de ${\displaystyle u}$ est définie par ${\displaystyle u':x\mapsto e^{-x}-xe^{-x}}$
  • On obtient ${\displaystyle f_{4}'(x)={\frac {7}{3}}(e^{-x}-xe^{-x})}$
  • Soit, pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{4}'(x)={\frac {7}{3}}e^{-x}(1-x)}$

1. ${\displaystyle f_{1}:x\mapsto (5x-2)e^{-x}}$

• On pose sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ les fonctions ${\displaystyle u:x\mapsto 5x-2}$ et ${\displaystyle v:x\mapsto e^{-x}}$
• Leurs dérivées sont définies par ${\displaystyle u':x\mapsto 5}$ et ${\displaystyle v':x\mapsto -e^{-x}}$
• Finalement, pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{1}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(5-(5x-2))e^{-x}=(-5x+7)e^{-x}}$

2. ${\displaystyle f_{2}:x\mapsto {\frac {x^{2}}{e^{x}}}}$

• On pose sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ les fonctions ${\displaystyle u:x\mapsto x^{2}}$ et ${\displaystyle v:x\mapsto e^{x}}$
• Leurs dérivées sont définies par ${\displaystyle u':x\mapsto 2x}$ et ${\displaystyle v':x\mapsto e^{x}}$
• Finalement, pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{2}'(x)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/(v(x)^{2})=(x^{2}+2x)e^{(}-x)=x(x+2)(e^{-}x)}$

3. ${\displaystyle f_{3}:x\mapsto 3xe^{-4x}}$

• On pose sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ les fonctions ${\displaystyle u:x\mapsto 3x}$ et ${\displaystyle v:x\mapsto e^{-4x}}$
• Leurs dérivées sont définies par ${\displaystyle u':x\mapsto 3}$ et ${\displaystyle v':x\mapsto -4e^{-4x}}$
• Finalement, pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{3}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3-4\cdot 3x)e^{-4x}=3(-4x+1)e^{-4x}}$

4. ${\displaystyle f_{4}:x\mapsto e^{2x+3}}$

• On pose sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ la fonction ${\displaystyle u:x\mapsto 2x+3}$
• Sa dérivée est définie par ${\displaystyle u':x\mapsto 2}$
• Comme ${\displaystyle f_{4}=e^{u}}$, on a pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{4}'(x)=u'(x)e^{u(x)}=2e^{2x+3}}$

5. ${\displaystyle f_{5}:x\mapsto 3e^{-4x}}$

• Pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{5}'(x)=-12e^{-4x}}$

6. ${\displaystyle f_{6}:x\mapsto xe^{2x-1}}$

• On pose sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ les fonctions ${\displaystyle u:x\mapsto x}$ et ${\displaystyle v:x\mapsto e^{2x-1}}$
• Leurs dérivées sont définies par ${\displaystyle u':x\mapsto 1}$ et ${\displaystyle v':x\mapsto 2e^{2x-1}}$
• Finalement, pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{6}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(2x+1)e^{2x-1}}$

7. ${\displaystyle f_{7}:x\mapsto 3xe^{\frac {x}{2}}}$

• On pose sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ les fonctions ${\displaystyle u:x\mapsto 3x}$ et ${\displaystyle v:x\mapsto e^{\frac {x}{2}}}$
• Leurs dérivées sont définies par ${\displaystyle u':x\mapsto 3}$ et ${\displaystyle v':x\mapsto {\frac {1}{2}}e^{\frac {x}{2}}}$
• Finalement, pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{7}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=\left({\frac {3}{2}}x+3\right)e^{\frac {x}{2}}}$

1. Tracer sur calculatrice la courbe représentative de ƒ_λ pour λ = 0,5 et pour λ = 3.

• ${\displaystyle \color {red}\lambda ={\frac {1}{2}}}$
• ${\displaystyle \color {green}\lambda =3}$

2. Démontrer que ƒ_λ est paire, c'est-à-dire pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f_{\lambda }(-x)=f_{\lambda }(x)}$.

Soit ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{\lambda }(-x)&={\frac {e^{\lambda (-x)}+e^{-\lambda (-x)}}{2\lambda }}\\&={\frac {e^{-\lambda x}+e^{\lambda x}}{2\lambda }}\end{aligned}}}$

3. Étudier les variations de ƒ_λ et déterminer sa limite en ${\displaystyle +\infty }$.

ƒ_λ est dérivable et, pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{\lambda }'(x)&={\frac {\lambda e^{\lambda x}+(-\lambda )e^{-\lambda x}}{2\lambda }}\\&={\frac {e^{\lambda x}-e^{-\lambda x}}{2}}\\&={\frac {e^{\lambda x}\left(1-e^{-2\lambda x}\right)}{2}}\\\end{aligned}}}$

On déduit de cette expression le tableau de signes de ƒ_λ', donc les variations de ƒ_λ.

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc|}x&-\infty &&0&&+\infty \\\hline {\textrm {Signe~de}}~e^{\lambda x}&&+&&+&\\\hline {\textrm {Signe~de}}~1-e^{-2\lambda x}&&-&0&+&\\\hline &+\infty &&&&+\infty \\{\textrm {Variations~de}}~f_{\lambda }&&\searrow &&\nearrow &\\&&&{\frac {1}{2\lambda }}&&\\\hline \end{array}}}$

• Comme ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }e^{-\lambda x}=0}$ et ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }e^{\lambda x}=+\infty }$, on a ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f_{\lambda }=+\infty }$
• Comme ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }e^{-\lambda x}=+\infty }$ et ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }e^{\lambda x}=0}$, on a ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f_{\lambda }=+\infty }$