Soit ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle (E1)\Leftrightarrow 3e^{x}=5e^{x}\times e-2}$

On pose ${\displaystyle X=~e^{x}}$. On obtient ${\displaystyle (E1)\Leftrightarrow 3X=5e\times X-2}$

NB : il n'y a plus d'exposant x , le nombre e (constant) ne gêne nullement la résolution. Il s'agit maintenant d'une équation du premier degré d'inconnue X.

${\displaystyle {\begin{aligned}(E1)&\Leftrightarrow 2=(5e-3)X\\&\Leftrightarrow X={\frac {2}{5e-3}}\end{aligned}}}$

On revient à x grâce à la fonction logarithme :

Soit ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle (E2)\Leftrightarrow e^{x}\times e^{2}=3e^{x}+5}$

On pose ${\displaystyle X=~e^{x}}$. On obtient

${\displaystyle {\begin{aligned}(E2)&\Leftrightarrow e^{2}\times X=3X+5\\&\Leftrightarrow (e^{2}-3).X=5\\&\Leftrightarrow X={\frac {5}{e^{2}-3}}\\\end{aligned}}}$

Comme ${\displaystyle {\frac {5}{e^{2}-3}}>0}$, on peut utiliser la fonction ln pour trouver la solution de (E2) :

Soit ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$:

${\displaystyle (E3)\Leftrightarrow -2(e^{x})^{2}+5e^{x}+3=0}$.

On pose ${\displaystyle X=~e^{x}}$. On a alors ${\displaystyle (E3)\Leftrightarrow -2X^{2}+5X+3=0}$

C'est une équation du second degré en X de discriminant ${\displaystyle \Delta =49~>0}$. Elle admet donc deux racines réelles ${\displaystyle X_{1}=~3}$ et ${\displaystyle X_{2}=-{\frac {1}{2}}}$

On revient à l'inconnue x grâce à la fonction logarithme : ${\displaystyle x_{1}=\ln X_{1}=\ln ~3\approx 1,1}$ et ${\displaystyle x_{2}=~\ln(-0,5)}$, qui n’est pas défini

NB : on peut aussi dire pour x₂ "il n'y a pas de nombre x₂ dont l'exponentielle soit -0,5, car une exponentielle est toujours positive"

Soit ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle (E4)\Leftrightarrow -2e~(e^{x})^{2}+7e^{x}-3=0}$

On pose ${\displaystyle X=~e^{x}}$ : ${\displaystyle (E4)\Leftrightarrow -2eX^{2}+7X-3=0}$

Le discriminant de cette équation du second degré en X est ${\displaystyle \Delta =7^{2}-4\times (-2e)\times (-3)=49-24e~<0}$.

Cette équation du second degré en X n'admet donc pas de racine réelle.

Soit ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

Un produit de deux facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs (au moins) est nul, donc

${\displaystyle {\begin{aligned}(E5)&\Leftrightarrow ((e^{x}+3=0)~{\textrm {ou}}~(e^{x}-5=0))\\&\Leftrightarrow ((e^{x}=-3)~{\textrm {ou}}~(e^{x}=5))\end{aligned}}}$

Comme l'équation ${\displaystyle e^{x}=~-3}$ d'inconnue x n'admet pas de solution, l’ensemble des solutions de (E5) est réduit à

Soit ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$.

${\displaystyle 2e^{x}+2\not =0}$ et ${\displaystyle 2e^{-x}+2\not =0}$ donc les quotients n'engendrent pas de restrictions particulières.

${\displaystyle {\begin{aligned}(E6)&\Leftrightarrow {\frac {1}{e^{-x}+1}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}\\&\Leftrightarrow e^{x}+1=e^{x}(e^{-x}+1)\\&\Leftrightarrow e^{x}+1=1+e^{x}\\\end{aligned}}}$

On remarque alors que cette assertion est vérifiée pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ !

Soit ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$. On pose ${\displaystyle X=~e^{x}}$.

${\displaystyle (E7)\Leftrightarrow X^{2}+X+1=0}$

Cette équation du second degré a pour discriminant ${\displaystyle \Delta =-3}$, donc n'admet aucune racine réelle.

Donc l’ensemble des solutions de (E7) est ${\displaystyle S_{7}=\emptyset }$

Soit ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$

On pose ${\displaystyle X=~e^{x}}$ et ${\displaystyle Y=~e^{y}}$.

${\displaystyle (S)\Leftrightarrow {\begin{cases}X+3Y=5\\2X-Y=3\end{cases}}}$

On résout le système avec une méthode au choix et on trouve pour solution unique ${\displaystyle (X,Y)=~(2,1)}$

On revient à (x,y) grâce à la fonction ln : ${\displaystyle (x,y)=~(\ln X,\ln Y)}$.