Dérivée de x → eax+b
On considère des fonctions de paramètre a et b et de forme : .
Par exemple, soit la fonction ƒ définie par :
- pour tout .
ƒ est la fonction composée de la fonction affine , définie sur
et de la fonction exponentielle, ce que l’on représente par le schéma :
Pour calculer l’expression de ƒ', on utilise le théorème suivant :
![](../../I/Dobry_Artykul-MK.svg.png.webp)
Soient a et b deux réels.
Soit g une fonction définie par sur un intervalle I.
Si ƒ est dérivable au point d'abscisse x alors g est dérivable au point d'abscisse a x + b et :
Dans notre cas particulier
- pour tout
Dérivée de
Toujours dans l'exemple de la fonction ƒ, on avait pour tout .
On généralise ce procédé au cas où u n’est pas forcément affine.
![](../../I/Dobry_Artykul-MK.svg.png.webp)
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
Alors eu est dérivable sur I et :
Exemples
Sans se préoccuper de l’intervalle I, dériver les fonctions ƒ suivantes :
Exemple 1
- Pour tout .
- Pour tout
- Donc pour tout
- Pour tout
- Pour tout
- Donc pour tout
Exemple 2
- Pour tout
- Pour tout
- Donc pour tout
Exemple 3
- Pour tout
- Pour tout
- Donc pour tout
Exemple 4
- Pour tout
- Pour tout
- Donc pour tout
Exemple 5
- Pour tout
- Pour tout
- Donc pour tout
Exemple 6
On remarque que pour tout Donc pour tout
Exemple : l’exponentielle décroissante
On considère la fonction définie sur par .
On a alors pour tout et le tableau de variations :
x | |
ƒ' | |
ƒ |
Les limites aux bornes sont :
Pour tout
On peut remarquer que ƒ' = - ƒ ce qui fait de ƒ l’archétype de la solution des situations où plus x augmente, plus ƒ diminue. Physiquement, on retrouve ce comportement dans de nombreuses situations : décharge d’un condensateur, freinage par frottements fluides, loi exponentielle en fiabilité, et bien d’autres…