Exercice 1

L'exercice proposé ici constitue une ROC ou "Question de cours" ou "démonstration de cours", spécifiquement au programme du bac S.

Les prérequis sont des propositions admises ici, qui doivent servir à démontrer le résultat demandé.

Application

c) Pour tout réel x, ${\displaystyle exp(x)>0}$

d) Pour tout réel x, ${\displaystyle exp(x)+exp(-x)\geq 2}$.

Exercice 2

Définition

Il existe une unique fonction dérivable de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$, appelée fonction exponentielle et notée exp qui vérifie :

• ${\displaystyle \exp(0)=1}$
• Pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~\exp '(x)=\exp(x)}$

Autrement dit, l'exponentielle est la seule fonction qui est égale à sa propre dérivée valant 1 en 0.

Existence : On admet ici l’existence (qui peut être démontrée en calcul intégral).

Unicité :

• Remarquons tout d’abord que f ne s'annule pas sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

En effet la fonction définie par ${\displaystyle \phi (x)=f(x)\times f(-x)}$ a pour dérivée :

${\displaystyle \phi '(x)=..................................................................}$.

donc ${\displaystyle \phi }$ est ................ et comme ${\displaystyle \phi (0)=1}$,

on en déduit ${\displaystyle \phi (x)=.........}$ pour tout x.

Finalement ${\displaystyle f(x)\times f(-x)=..............}$ pour tout x

donc ${\displaystyle f(x)}$ ne .......................... pas.

• Soit g une autre fonction dérivable sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ telle que :

${\displaystyle g'=g}$ et ${\displaystyle g(0)=1}$,

alors ${\displaystyle h={\frac {g}{f}}}$ est définie et dérivable sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (car f ne s'annule pas).

Alors ${\displaystyle h'=........................................................................}$

donc h est ............................ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Or ${\displaystyle h(0)={\frac {g(0)}{f(0)}}=...........................................}$

donc ${\displaystyle g=........................................}$.

Exercice 3

En utilisant uniquement les propriétés algébriques de la fonction exponentielle et le fait qu’elle ne s’annule pas sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$, démontrer que pour tout x de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ :

${\displaystyle e^{x}>0}$.