Nombre dérivé

Soit ${\displaystyle f}$ une fonction définie sur un domaine ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$.

Soit ${\displaystyle a\in {\mathcal {D}}}$.

La fonction ${\displaystyle f}$ est dite dérivable en ${\displaystyle a}$ si le taux d'accroissement ${\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$ admet une limite finie quand ${\displaystyle h}$ tend vers ${\displaystyle 0}$.

Cette limite :

• s’appelle nombre dérivé de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle a}$ ;
• est égale au coefficient directeur de la tangente à la courbe de ${\displaystyle f}$ au point d'abscisse ${\displaystyle a}$ ;
• est notée ${\displaystyle f'(a)}$.

Opérations sur les dérivées

Soient ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}$

Opérations simples

Soient ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ deux fonctions définies et dérivables sur un domaine ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$.

On note :

• ${\displaystyle {\mathcal {D}}'_{f}={\mathcal {D}}}$ privé des points d'annulation de ${\displaystyle f}$ ;
• ${\displaystyle {\mathcal {D}}'_{g}={\mathcal {D}}}$ privé des points d'annulation de ${\displaystyle g}$.

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}{\textrm {Fonction}}&{\text{Domaine de dérivabilité}}&{\text{Dérivée}}\\\hline x\mapsto \lambda f(x)&{\mathcal {D}}&x\mapsto \lambda f'(x)\\x\mapsto (f+g)(x)&{\mathcal {D}}&x\mapsto f'(x)+g'(x)\\x\mapsto (f\times g)(x)&{\mathcal {D}}&x\mapsto f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\x\mapsto f^{n}(x)&{\mathcal {D}}&x\mapsto n\cdot f'(x)f^{n-1}(x)\\x\mapsto \displaystyle {\frac {1}{f}}&{\mathcal {D}}'_{f}&x\mapsto \displaystyle {-{\frac {f'(x)}{f^{2}(x)}}}\\x\mapsto \displaystyle {\frac {f}{g}}&{\mathcal {D}}'_{g}&x\mapsto \displaystyle {\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}}\\\end{array}}}$

Composition

Si ${\displaystyle f}$ est une fonction dérivable sur ${\displaystyle I}$ et ${\displaystyle g}$ est une fonction dérivable sur ${\displaystyle f(I)}$

alors la composée ${\displaystyle g\circ f}$ est dérivable sur ${\displaystyle I}$ et, pour tout ${\displaystyle x\in I}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}(g\circ f)'(x)&=\left[(g'\circ f)\times f'\right](x)\\&=g'(f(x))\times f'(x).\end{aligned}}}$

Compositions usuelles

On trouvera les domaines de validité de ces formules grâce au théorème précédent.

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}{\textrm {Fonction}}&{\text{Dérivée}}\\\hline {\sqrt {u}}&\displaystyle {\frac {u'}{2{\sqrt {u}}}}\\\sin(u)&u'\cdot \cos(u)\\\cos(u)&-u'\cdot \sin(u)\\e^{u}&u'\cdot e^{u}\\\ln(u)&\displaystyle {\frac {u'}{u}}\\\end{array}}}$