1. Énoncer une condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'une fonction ƒ dérivable sur I admette un extremum local en x₀ intérieur à I.

Pour qu'une fonction ƒ dérivable sur un intervalle I admette un extremum local en un réel ${\displaystyle x_{0}}$ intérieur à I, il est nécessaire que ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$. Cette condition n'est cependant pas suffisante.

2. Énoncer la réciproque de ce théorème.

La réciproque est « Si une fonction ƒ dérivable sur un intervalle I vérifie en un réel x₀ intérieur à I l'égalité ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$, alors ƒ admet un extremum local en x₀ »

3. Démontrer que dans le cas de la fonction définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par ${\displaystyle f:x\mapsto x^{3}}$, cette réciproque est fausse.

La fonction cube est dérivable sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et, pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=3x^{2}}$.

On a donc ƒ'(0) = 0.

Or, la fonction cube n'admet pas d'extremum local au point d'abscisse 0. En effet, la fonction cube est strictement croissante ! La réciproque énoncée en 2 est donc fausse.

4 Que « manque-t-il » à la fonction ${\displaystyle f'}$ pour que ${\displaystyle f}$ admette un extremum local en 0 ?

Il faudrait, pour avoir un extremum en 0, que le sens de variation de ƒ change en passant par 0. Or, pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)\geq 0}$.

Il « manque » donc à ƒ' un changement de signe.