Fonction dérivée/Exercices/Vitesse moyenne et vitesse instantanée

Exercice 1

Un dragster atteint la vitesse de 360 km/h en 10 s. En supposant l'accélération constante, on démontre que cela exerce sur le pilote une poussée horizontale sensiblement égale à son propre poids, et que la distance (en mètres) au point de départ du dragster est donnée par la fonction :

d(t)=5t^{2}

On se propose de calculer la vitesse du dragster après 3 secondes.

1. Quelle est la distance parcourue en 10 secondes ?

2. Représenter graphiquement d en fonction de t.

3. Donner la formule qui donne la vitesse moyenne du dragster entre les instants $3$ et $3+h$ .

$V_{m}(3;3+h)=\dots$

4. Calculer cette vitesse moyenne pour h donné dans le tableau ci-dessous (en m.s^-1).

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}h&1&0,1&0,01&0,001&0,000\,1&0,000\,01\\\hline V_{m}(3;3+h)&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{array}}$

5. D'après le tableau, que peut-on dire de $V_{m}$ quand h devient petit ?

6. Que représente physiquement cette quantité ?

Solution

1. Quelle est la distance parcourue en 10 secondes ?: En utilisant la formule donnée, la distante parcourue en 10 secondes est :

$d\left(10\right)=5\times 10^{2}=500\;\mathrm {m}$

2. Représenter graphiquement d en fonction de t ci-dessous.

3. Donner la formule qui donne la vitesse moyenne du dragster entre les instants $3$ et $3+h$: La vitesse moyenne entre deux instants est égale au rapport de la distance parcourue sur la durée. Ainsi :

${\begin{aligned}V_{m}\left(3;\,3+h\right)&={\frac {d(3+h)-d(3)}{(3+h)-(3)}}\\\ &={\frac {5(3+h)^{2}-5(3)^{2}}{h}}\\\ &={\frac {5(9+h^{2}+6h)-45}{h}}\\\ &={\frac {45+5h^{2}+30h-45}{h}}\\\ &=5h+30\end{aligned}}$

4. Calculer cette vitesse moyenne pour h donné dans le tableau ci-dessous (en m.s^-1).

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}h&1&0,1&0,01&0,001&0,000\,1&0,000\,01\\\hline V_{m}(3;3+h)&35&30,5&30,05&30,005&30,0005&30,000\,5\end{array}}$

5. D'après le tableau, que peut-on dire de $V_{m}$ quand h devient petit ?: Lorsque h devient petit, $V_{m}$ se rapproche de plus en plus de 30 m.s^-1

6. Que représente physiquement cette quantité ?: On regarde la vitesse moyenne sur un intervalle de plus en plus petit autour de la valeur à t = 3 s. Lorsque h devient très petit, $V_{m}$ représente donc la vitesse instantanée à t = 3 s.

Exercice 2

Calculer : $\lim _{h\to 0}V_{m}=\dots$

en utilisant la formule du 3.

Solution

En faisant tendre h vers 0 dans la formule $V_{m}(3;3+h)=5h+30$ , on trouve : $\lim _{h\to 0}V_{m}=30$

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