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Les fonctions suivantes sont des quotients de polynômes qu'on appelle fonctions (ou fractions) rationnelles. Nous allons les dériver en utilisant le théorème du cours sur la dérivée d'un quotient.
Exercice 5-1
.
- ƒ est définie et dérivable sur
- Pour tout
- Nature de la fonction u :
- Pour tout
- Nature de la fonction v :
- Pour tout
- Nature de la fonction u' :
- Pour tout
- Nature de la fonction v' :
- Pour tout
Solution
est définie et dérivable sur .
Pour tout , et .
- et sont des fonctions affines.
Pour tout , et .
- et sont des fonctions constantes.
Pour tout ,
- Remarque
- Lorsque numérateur et dénominateur sont affines, la fonction rationnelle est dite homographique, et les x se simplifient toujours au numérateur quand on dérive.
Exercice 5-2
- ƒ est définie et dérivable sur
- Pour tout
- Nature de la fonction u :
- Pour tout
- Nature de la fonction v :
- Pour tout
- Nature de la fonction u' :
- Pour tout
- Nature de la fonction v' :
- Pour tout
Solution
- ƒ est définie et dérivable sur .
- Pour tout
- Nature de la fonction u : Fonction affine
- Pour tout
- Nature de la fonction v : Fonction polynomiale
- Pour tout
- Nature de la fonction u' : Constante
- Pour tout
- Nature de la fonction v' : Fonction affine
- Pour tout
Exercice 5-3
- ƒ est définie et dérivable sur
- Pour tout
- Nature de la fonction u :
- Pour tout
- Nature de la fonction v :
- Pour tout
- Nature de la fonction u' :
- Pour tout
- Nature de la fonction v' :
- Pour tout
Solution
- ƒ est définie et dérivable sur
- Pour tout
- Nature de la fonction u : Fonction polynomiale
- Pour tout
- Nature de la fonction v : Fonction affine
- Pour tout
- Nature de la fonction u' : Fonction affine
- Pour tout
- Nature de la fonction v' : Constante
- Pour tout ,
Exercice 5-4
On pose :
- ;
- ;
- .
1° Déterminer la primitive de qui est égale à pour . En déduire une expression de .
2° Démontrer que , et que :
- .
3° En déduire des expressions de et .
Solution
Si :
- donc .
-
- donc .
- .
-
- ;
- .
- .
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