Fonction dérivée/Exercices/Dérivée et variations

Dalle rectangulaire

Une dalle rectangulaire en béton a un périmètre de 24 mètres.

Soit x la longueur en mètres de l'un de ses côtés.

Exprimer en fonction de x la longueur y de l'autre côté.
Exprimer en fonction de x l'aire S(x) de la dalle.
Sur quel intervalle I peut-on définir la fonction S ?
Calculer S'(x).
En déduire la valeur de x pour laquelle l'aire de la dalle est maximale.
Calculer cette aire.

Solution

y = 12 – x.
S(x) = 12x – x².
I = [0, 12].
S'(x) = 12 – 2x.
x = 6 m.
S = 36 m².

Résistance de l'air

Lorsqu'un véhicule roule à vitesse v, la résistance R de l'air qui s'oppose à son déplacement est donnée par la formule :

R={\frac {1}{2}}C_{x}\times 1{,}3\times S\times v^{2}

où $C_{x}$ est le coefficient de « pénétration dans l'air » qui dépend de la forme du véhicule.

S est le maître-couple, c'est-à-dire l'aire de la plus grande section transversale du véhicule.

Pour $C_{x}=0{,}34$ et $S=1{,}5\;\mathrm {m} ^{2}$ , étudier les variations de la fonction R(v) pour v variant entre 0 et 36 m/s.
Déterminer $v$ pour $R=300\;\mathrm {N}$ .
Illustrer graphiquement ces résultats.

Solution

$R(v)={\frac {1}{2}}\times 0{,}34\times 1{,}3\times 1{,}5\,v^{2}=0{,}3315\,v^{2}$ donc $R'(v)=0{,}663\,v>0\quad (\forall v>0)$ donc $R$ est strictement croissante, de $R(0)=0$ à $R(36)=0{,}3315^{\times }36^{2}=429{,}624$ .
$\forall v\geq 0\quad 0{,}3315\,v^{2}=300\Leftrightarrow v={\sqrt {300/0{,}3315}}\Rightarrow v\approx 30$ .
Graphique Google.

Volume d'une boîte

On étudie les variations du volume V d'une boîte à base carrée dont le côté dépend de x.

Soit une feuille carrée A'B'C'D' de côté 24 cm.

Dans chaque angle, on découpe un carré de côté x.

On obtient un carré ABCD.

1. Ensemble de définition de la fonction volume.

a. Déterminer, en fonction de x, la mesure du côté du carré ABCD.

b. Dans quel intervalle x varie-t-il ?

c. Dans quelle situation est-on aux bornes de cet intervalle ?

2. Calcul du volume en fonction de x.

a. Calculer l'aire A(x) du carré ABCD.

b. Calculer le volume V(x) de la boîte (sans couvercle) obtenue par pliage des côtés de ce carré.

3. Étude du signe de $V'(x)$ et variations de V.

a. Calculer

V'(x)

.

b. Étudier le signe de

V'(x)

sur

\left[0,12\right]

.

4. Déterminer pour quelle valeur de x le volume de la boîte est maximal, et calculer alors ce volume.

Solution

1. a. AB = 24 – 2x.

b. [0, 12].

c. Si x = 0, on n'a rien découpé. Si x = 12, on a coupé la feuille en 4 et jeté les 4 morceaux.

2. a. A(x) = (24 – 2x)².

b. V(x) = x(24 – 2x)².

3. a. $V'(x)=(24-2x)^{2}+x(24-2x)(-2)=(24-2x)(24-4x)$ .

b.

V'(x)=8(x-12)(x-6)

est > 0 de 0 à 6 puis < 0 de 6 à 12.

4. Le volume maximal est donc $V(6)=6\times 12^{2}=864$ cm³.

C'est les combles

On désire aménager les combles sous un toit en construisant une pièce d'habitation.

Le toit est représenté par un triangle ABC isocèle en C avec :

OC = 5, OA = OB = 6 (en mètres) où O est le milieu de [AB].

La pièce est représentée en coupe par le rectangle FGED. On note x la longueur AF.

Dans quel intervalle x varie-t-il ?
Exprimer l'aire f(x) de FGED en fonction de x.
Étudier les variations de f.
En déduire les dimensions du rectangle FGED ayant l'aire maximale, et la valeur de cette aire.

Solution

[0, 6].
$f(x)=(12-2x){\frac {5x}{6}}$ .
$f(x)={\frac {5}{3}}(6x-x^{2})$ donc $f'(x)={\frac {10}{3}}(3-x)$ . $f$ est croissante sur [0, 3] et décroissante sur [3, 6].
L'aire maximale est $f(3)=(12-2\times 3){\frac {5\times 3}{6}}=$ 15 m², avec FG = DE = 6 m et FD = GE = 2,5 m.

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