Fonction dérivée/Exercices/Dérivée d'une fonction composée

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Exercice 1

Dans chacun des cas suivants, dériver $f$ en utilisant une formule de dérivation spécifique, que l'on précisera.

$f_{1}:x\mapsto \left({\frac {3x-1}{5x+3}}\right)^{3}$ .
$f_{2}:x\mapsto \cos {\frac {2}{x}}$ .
$f_{3}:x\mapsto \tan ^{4}x$ .
$f_{4}:x\mapsto x^{1/x}$ .

Solution

On pose $u:x\mapsto {\frac {3x-1}{5x+3}}$ $u:x\mapsto {\frac {3x-1}{5x+3}}$ . On a :
- $f_{1}=u^{3}$ ;
- pour tout $x\neq -{\frac {3}{5}}$ , $u'(x)={\frac {3(5x+3)-5(3x-1)}{(5x+3)^{2}}}={\frac {14}{(5x+3)^{2}}}$ ;
- $n\in \mathbb {N} ^{*}$ , $(u^{n})'=nu^{n-1}u'$ .
Donc pour tout $x\neq -{\frac {3}{5}}$ , $f_{1}'(x)=3\left({\frac {3x-1}{5x+3}}\right)^{2}{\frac {14}{(5x+3)^{2}}}={\frac {42(3x-1)^{2}}{(5x+3)^{4}}}$ .
On pose $u:x\mapsto {\frac {2}{x}}$ $u:x\mapsto {\frac {2}{x}}$ . On a :
- $f_{2}=\cos u$ ;
- pour tout $x\in \mathbb {R} ^{*}$ , $u'(x)=-{\frac {2}{x^{2}}}$ ;
- $(\cos u)'=-(\sin u)u'$ .
Donc pour tout $x\in \mathbb {R} ^{*}$ , $f_{2}'(x)=-\sin {\frac {2}{x}}\left(-{\frac {2}{x^{2}}}\right)={\frac {2}{x^{2}}}\sin {\frac {2}{x}}$ .
On pose $u=\tan$ $u=\tan$ . On a :
- $f_{3}=u^{4}$ ;
- pour tout $x\in \mathbb {R} \setminus \left({\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} \right)$ , $u'(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}$ ;
- $n\in \mathbb {N} ^{*}$ , $(u^{n})'=nu^{n-1}u'$ .
Donc pour tout $x\in \mathbb {R} \setminus \left({\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} \right)$ , $f_{3}'(x)=4\tan ^{3}x\;{\frac {1}{\cos ^{2}x}}={\frac {4\sin ^{3}x}{\cos ^{5}x}}$ .
On pose $u:x\mapsto {\frac {\ln x}{x}}$ $u:x\mapsto {\frac {\ln x}{x}}$ . On a :
- $f_{4}=\exp u$ ;
- pour tout $x>0$ , $u'(x)={\frac {1-\ln x}{x^{2}}}$ ;
- $(\exp u)'=(\exp u)u'$ .
Donc pour tout $x>0$ , $f_{4}'(x)=\exp u{\frac {1-\ln(x)}{x^{2}}}=x^{1/x}{\frac {1-\ln x}{x^{2}}}$ .

Exercice 2

Dans chacun des cas suivants, dériver $f$ en utilisant une formule de dérivation spécifique, que l'on précisera.

$f_{1}:x\mapsto \left({\frac {3x+1}{5x-3}}\right)^{3}$ .
$f_{2}:x\mapsto \sin {\frac {2}{x}}$ .
$f_{3}:x\mapsto \tan ^{3}x$ .
$f_{4}:x\mapsto \operatorname {e} ^{-1/x}$ .

Solution

On pose $u:x\mapsto {\frac {3x+1}{5x-3}}$ $u:x\mapsto {\frac {3x+1}{5x-3}}$ . On a :
- $f_{1}=u^{3}$ ;
- pour tout $x\neq {\frac {3}{5}}$ , $u'(x)={\frac {3(5x-3)-5(3x+1)}{(5x-3)^{2}}}={\frac {-14}{(5x-3)^{2}}}$ ;
- $n\in \mathbb {N} ^{*}$ , $(u^{n})'=nu^{n-1}u'$ .
Donc pour tout $x\neq {\frac {3}{5}}$ , $f_{1}'(x)=3\left({\frac {3x+1}{5x-3}}\right)^{2}{\frac {-14}{(5x-3)^{2}}}=-{\frac {42(3x+1)^{2}}{(5x-3)^{4}}}$ .
On pose $u:x\mapsto {\frac {2}{x}}$ $u:x\mapsto {\frac {2}{x}}$ . On a :
- $f_{2}=\sin u$ ;
- pour tout $x\in \mathbb {R} ^{*}$ , $u'(x)=-{\frac {2}{x^{2}}}$ ;
- $(\sin u)'=(\cos u)u'$ .
Donc pour tout $x\in \mathbb {R} ^{*}$ , $f_{2}'(x)=\cos {\frac {2}{x}}\left(-{\frac {2}{x^{2}}}\right)=-{\frac {2}{x^{2}}}\cos {\frac {2}{x}}$ .
On pose $u=\tan$ $u=\tan$ . On a :
- $f_{3}=u^{3}$ ;
- pour tout $x\in \mathbb {R} \setminus \left({\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} \right)$ , $u'(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}$ ;
- $n\in \mathbb {N} ^{*}$ , $(u^{n})'=nu^{n-1}u'$ .
Donc pour tout $x\in \mathbb {R} \setminus \left({\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} \right)$ , $f_{3}'(x)=3\tan ^{2}x\;{\frac {1}{\cos ^{2}x}}={\frac {3\sin ^{2}x}{\cos ^{4}x}}$ .
On pose $u:x\mapsto -{\frac {1}{x}}$ $u:x\mapsto -{\frac {1}{x}}$ . On a :
- $f_{4}=\exp u$ ;
- pour tout $x\in \mathbb {R} ^{*}$ , $u'(x)={\frac {1}{x^{2}}}$ ;
- $(\exp u)'=(\exp u)u'$ .
Donc pour tout $x\in \mathbb {R} ^{*}$ , $f_{4}'(x)={\frac {\exp(-1/x)}{x^{2}}}$ .

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