1. Calculer la dérivée de ƒ

2. Étudier le signe de cette dérivée

Le discriminant du polynôme du second degré ${\displaystyle -X^{2}+2X+3}$ vaut ${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &=b^{2}-4ac\\&=2^{2}-4\times (-1)\times 3\\&=4+12\\&=16\end{aligned}}}$

${\displaystyle \Delta >0}$ donc le polynôme ${\displaystyle -X^{2}+2X+3}$ admet deux racines réelles distinctes ${\displaystyle x_{1}}$ et ${\displaystyle x_{2}}$ : ${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\\&={\frac {-2-{\sqrt {16}}}{-2}}\\&=3\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\\&={\frac {-2+{\sqrt {16}}}{-2}}\\&=-1\end{aligned}}}$

Le trinôme est du signe de a sauf entre les racines. On en déduit le tableau de signes de ƒ'

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-1&&3&&+\infty \\&&&&&&&\\\hline {\textrm {Signe~de}}~f'(x)&&-&0&+&0&-&\\\hline \end{array}}}$

3. Tracer le tableau de variations de ƒ

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-1&&3&&+\infty \\\hline {\rm {Signe~de~}}f'(x)&&-&&+&&-&\\\hline &&&&&33&&\\{\textrm {Variations~de}}~f&&\searrow &&\nearrow &&\searrow &\\&&&1&&&&\\\end{array}}}$