Fonction dérivée/Dérivée et variations

Sens de variation

Lien entre nombre dérivé et sens de variation

Soit ƒ une fonction dérivable sur son intervalle de définition I.

On a vu que, en tout point $a\in I,~f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de ƒ dans un repère. De cette propriété, on voit émerger la constatation suivante :

Si $f'(a)>0$ , la tangente à la courbe de ƒ en a est croissante. Cela induit que, sur une petite zone autour de a, la courbe de ƒ est nécessairement croissante pour pouvoir être tangente à la droite.
Au contraire, si $f'(a)<0$ la tangente est décroissante. La courbe de ƒ doit alors nécessairement être décroissante sur une petite zone autour de a pour pouvoir satisfaire à la même propriété.

Théorème global

Théorème

Soit ƒ une fonction dérivable sur un intervalle I.

Si sa fonction dérivée $f'$ est positive (au sens large) sur I, alors la fonction ƒ est croissante sur I.
De même, si sa fonction dérivée $f'$ est négative sur I, alors la fonction ƒ est décroissante sur I.
Par conséquent, si $f'$ est nulle sur I, alors ƒ est constante sur I.

On s'intéresse à présent à la stricte croissance de ƒ sur l'intervalle I. Pour cela, il faut remarquer que, si en un point $a\in I,~f'(a)=0$ , la tangente à la courbe de ƒ est une droite horizontale.

La fonction ƒ ne sera pas strictement croissante s'il existe des intervalles non réduits à un point où ƒ reste constante, c'est-à-dire s'il n'existe que quelques points isolés où ƒ' s'annule.

Théorème

Soit ƒ une fonction dérivable sur un intervalle I

Si pour tout $x\in I,~f'(x)>0$ sauf peut-être en un nombre fini de points où $f'(x)$ s'annule, alors ƒ est strictement croissante sur I.
De même, si pour tout $x\in I,~f'(x)<0$ sauf peut-être en un nombre fini de points où $f'(x)$ s'annule, alors ƒ est strictement décroissante sur I.

Exemples

Vérifier ce théorème sur les fonctions usuelles sur des intervalles convenables.

$f:x\mapsto x^{2}$

Solution

Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=2x$

${\begin{array}{c|ccccc|}x&-\infty &&0&&+\infty \\\hline {\textrm {Signe~de}}~f'(x)&&-&0&+&\\\hline &+\infty &&&&+\infty \\{\textrm {Variations~de}}~f&&\searrow &&\nearrow &\\&&&0&&\\\end{array}}$

$g:x\mapsto {\sqrt {x}}$

Solution

Pour tout $x\in ]0;+\infty [,~g'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$

${\begin{array}{c|ccc|}x&0&&+\infty \\\hline {\textrm {Signe~de}}~g'(x)&&+&\\\hline &&&+\infty \\{\textrm {Variations~de}}~g&&\nearrow &\\&0&&\\\end{array}}$

$h:x\mapsto {\frac {1}{x}}$

Solution

Pour tout $x\in \mathbb {R} ^{*},~h'(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}$

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&&0&&&+\infty \\\hline {\textrm {Signe~de}}~h'(x)&&-&&\|&&-&\\\hline &0&&&\|&+\infty &&\\{\textrm {Variations~de}}~h&&\searrow &&\|&&\searrow &\\&&&-\infty &\|&&&0\\\end{array}}$

Exercices

Montrer sur un exemple simple que la réciproque du théorème « strict » est fausse si on enlève la précision : « sauf en un nombre fini de points ».

Solution

Il suffit de choisir une fonction constante sur un palier, comme expliqué plus haut.

Étudier les variations de la fonction trinôme $f:x\mapsto 2x^{2}-3x+1$

Solution

On commence par dériver la fonction

ƒ est dérivable et, pour tout

x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=4x-3

On étudie ensuite le signe de la dérivée

Soit

x\in \mathbb {R}

$f'(x)>0\Leftrightarrow 4x-3>0\Leftrightarrow 4x>3\Leftrightarrow x>{\frac {3}{4}}$

Donc

ƒ' est strictement positive sur $\left]{\frac {3}{4}};+\infty \right[$
ƒ' est strictement négative sur ${\displaystyle \left]-\infty$
On en déduit les variations de ƒ :

ƒ est strictement décroissante sur ${\displaystyle \left]-\infty$ et strictement croissante sur $\left]{\frac {3}{4}};+\infty \right[$

ƒ atteint son minimum en $x={\frac {3}{4}}~:~f\left({\frac {3}{4}}\right)=-{\frac {1}{8}}$

Tableaux de variations

Pour mettre en relation le signe de la dérivée et les variations d'une fonction,

on utilise un tableau de signe et variations comme ci-dessous :

${\begin{array}{c|ccccc|}x&-\infty &&{\frac {3}{4}}&&+\infty \\\hline {\rm {Signe~de~}}f'(x)&&-&0&+&\\\hline &+\infty &&&&+\infty \\{\textrm {Variations~de}}~f&&\searrow &&\nearrow &\\&&&-{\frac {1}{8}}&&\\\hline \end{array}}$

Remarques

Noter la différence de légende : on parle du signe de $f'~{\rm {de}}~x$ et des variations de la fonction $f$ .
Les flèches désignent conventionnellement sauf indication contraire des croissances et décroissances strictes.

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