Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction

Théorème sur la dérivation d'une fonction affine suivie d'une autre fonction

On s'intéresse dans ce chapitre à la dérivation d'une fonction dont l’expression à partir d'un réel x est obtenue en deux temps :

On applique d’abord une fonction affine
On applique ensuite au résultat une fonction quelconque ƒ

Le schéma étudié est donc le suivant : ${\begin{array}{ccccl}{\mathcal {D}}_{1}&\rightarrow &{\mathcal {D}}_{2}&\rightarrow &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\color {blue}ax+b&{\underset {f}{\mapsto }}&f(ax+b)\\\end{array}}$

qui peut se ramener à l'étude de ${\begin{array}{ccl}{\mathcal {D}}_{1}&\rightarrow &\mathbb {R} \\x&{\underset {g}{\mapsto }}&g(x)=f(ax+b)\\\end{array}}$

Théorème

Soit g une fonction définie sur un domaine ${\mathcal {D}}_{1}$ par $g:x\mapsto f(ax+b)$ .

Soit $x\in {\mathcal {D}}_{1}$

Si ƒ est dérivable au point $ax+b$

Alors g est dérivable au point x et

g'(x)=a\cdot f'(ax+b)

Lorsqu'on utilise ce genre de théorème, il faut être particulièrement vigilant aux domaines de définition et de dérivabilité. Nous allons le voir sur quelques exemples.

Exemples

Exemple 1

Soit g la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par $g:x\mapsto (3x+2)^{2}$ . Dériver g

Méthode de dérivation

Faire le schéma décomposant les étapes fonction affine/fonction ƒ
Identifier $ax+b$ et $f$
Vérifier les domaines de définition et de dérivabilité de ƒ et calculer sa dérivée $f'$
Vérifier les domaines de définition et de dérivabilité de g et calculer sa dérivée $g'$ avec le théorème

Le schéma est ${\begin{array}{ccccl}\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\color {blue}3x+2&{\underset {\color {red}f}{\mapsto }}&\color {red}(\color {blue}3x+2\color {red})^{2}\\\end{array}}$

et se ramène à ${\begin{array}{ccl}\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\x&{\underset {g}{\mapsto }}&g(x)=\color {red}(\color {blue}3x+2\color {red})^{2}\\\end{array}}$

Soit $x\in \mathbb {R}$

D'après le théorème, g est dérivable en x lorsque ƒ est dérivable en $ax+b$
Dans notre cas, $\color {blue}ax+b=3x+2$
Pour tout $X\in \mathbb {R} ,~\color {red}f(X)=X^{2}$ , donc ƒ est dérivable sur $\mathbb {R}$ et, pour tout $X\in \mathbb {R} ,~\color {magenta}f'(X)=2X$
En particulier, ƒ est dérivable en $ax+b$ donc g est dérivable en x
On applique la formule du théorème :

Pour tout

x\in \mathbb {R}

:

${\begin{aligned}g'(x)&=a\cdot \color {magenta}f'(ax+b)\\&=3\cdot \color {magenta}2(3x+2)\\&=6(3x+2)\end{aligned}}$

Finalement, pour tout $x\in \mathbb {R} ,~g'(x)=6(3x+2)$

Exemple 2

Soit g la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par $g:x\mapsto (-4x+5)^{3}$ . Dériver g

Le schéma est ${\begin{array}{ccccl}\cdots &\rightarrow &\cdots &\rightarrow &\cdots \\x&\mapsto &\cdots &{\underset {f}{\mapsto }}&\cdots \\\end{array}}$

et se ramène à ${\begin{array}{ccl}\cdots &\rightarrow &\cdots \\x&{\underset {g}{\mapsto }}&g(x)=(-4x+5)^{3}\\\end{array}}$

Soit $x\in \mathbb {R}$

D'après le théorème, g est dérivable en x lorsque ƒ est dérivable en $ax+b$
Dans notre cas, $ax+b=\cdots$
Pour tout $X\in \cdots ,~f(X)=\cdots$ , donc ƒ est dérivable sur $\cdots$ et, pour tout $X\in \cdots ,~f'(X)=\cdots$
En particulier, ƒ est dérivable en $ax+b$ donc g est dérivable en x
On applique la formule du théorème :

Pour tout

x\in \cdots ,~g'(x)=\cdots

Solution

Le schéma est ${\begin{array}{ccccl}\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\color {blue}-4x+5&{\underset {\color {red}f}{\mapsto }}&\color {red}(\color {blue}-4x+5\color {red})^{3}\\\end{array}}$

et se ramène à ${\begin{array}{ccl}\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\x&{\underset {g}{\mapsto }}&g(x)=\color {red}(\color {blue}-4x+5\color {red})^{3}\\\end{array}}$

Soit $x\in \mathbb {R}$

D'après le théorème, g est dérivable en x lorsque ƒ est dérivable en $ax+b$
Dans notre cas, $\color {blue}ax+b=-4x+5$
Pour tout $X\in \mathbb {R} ,~\color {red}f(X)=X^{3}$ , donc ƒ est dérivable sur $\mathbb {R}$ et, pour tout $X\in \mathbb {R} ,~\color {magenta}f'(X)=3X^{2}$
En particulier, ƒ est dérivable en $ax+b$ donc g est dérivable en x
On applique la formule du théorème :

Pour tout

x\in \mathbb {R}

:

${\begin{aligned}g'(x)&=a\cdot \color {magenta}f'(ax+b)\\&=-4\cdot \color {magenta}3(-4x+5)^{2}\\&=-12(-4x+5)^{2}\end{aligned}}$

Finalement, pour tout $x\in \mathbb {R} ,~g'(x)=-12(-4x+5)^{2}$

Exemple 3

Soit g la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par $g:x\mapsto \left({\frac {1}{2}}x+5\right)^{4}$ . Dériver g

Le schéma est ${\begin{array}{ccccl}\cdots &\rightarrow &\cdots &\rightarrow &\cdots \\x&\mapsto &\cdots &{\underset {f}{\mapsto }}&\cdots \\\end{array}}$

et se ramène à ${\begin{array}{ccl}\cdots &\rightarrow &\cdots \\x&{\underset {g}{\mapsto }}&g(x)=\left({\frac {1}{2}}x+5\right)^{4}\\\end{array}}$

Soit $x\in \mathbb {R}$

D'après le théorème, g est dérivable en x lorsque ƒ est dérivable en $ax+b$
Dans notre cas, $ax+b=\cdots$
Pour tout $X\in \cdots ,~f(X)=\cdots$ , donc ƒ est dérivable sur $\cdots$ et, pour tout $X\in \cdots ,~f'(X)=\cdots$
En particulier, ƒ est dérivable en $ax+b$ donc g est dérivable en x
On applique la formule du théorème :

Pour tout

x\in \cdots ,~g'(x)=\cdots

Solution

Le schéma est ${\begin{array}{ccccl}\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\color {blue}{\frac {1}{2}}x+5&{\underset {\color {red}f}{\mapsto }}&\color {red}\left(\color {blue}{\frac {1}{2}}x+5\color {red}\right)^{4}\\\end{array}}$

et se ramène à ${\begin{array}{ccl}\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\x&{\underset {g}{\mapsto }}&g(x)=\color {red}\left(\color {blue}{\frac {1}{2}}x+5\color {red}\right)^{4}\\\end{array}}$

Soit $x\in \mathbb {R}$

D'après le théorème, g est dérivable en x lorsque ƒ est dérivable en $ax+b$
Dans notre cas, $\color {blue}ax+b={\frac {1}{2}}x+5$
Pour tout $X\in \mathbb {R} ,~\color {red}f(X)=X^{4}$ , donc ƒ est dérivable sur $\mathbb {R}$ et, pour tout $X\in \mathbb {R} ,~\color {magenta}f'(X)=4X^{3}$
En particulier, ƒ est dérivable en $ax+b$ donc g est dérivable en x
On applique la formule du théorème :

Pour tout

x\in \mathbb {R}

:

${\begin{aligned}g'(x)&=a\cdot \color {magenta}f'(ax+b)\\&={\frac {1}{2}}\cdot \color {magenta}4\left({\frac {1}{2}}x+5\right)^{3}\\&=2\left({\frac {1}{2}}x+5\right)^{3}\end{aligned}}$

Finalement, pour tout $x\in \mathbb {R} ,~g'(x)=2\left({\frac {1}{2}}x+5\right)^{3}$

Exemple 4

Soit g la fonction définie sur un domaine ${\mathcal {D}}$ par $g:x\mapsto {\frac {1}{(2x+1)^{3}}}$ . Dériver g.

Voici notre premier exemple de fonction qui n’est pas définie partout. Il faudra donc faire attention aux domaines de définition et de dérivabilité.

On commence comme d'habitude par identifier les éléments $ax+b$ et ƒ

Le schéma est ${\begin{array}{ccccl}{\mathcal {D}}&\rightarrow &?&\rightarrow &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\cdots &{\underset {f}{\mapsto }}&\cdots \\\end{array}}$

et se ramène à ${\begin{array}{ccl}{\mathcal {D}}&\rightarrow &\mathbb {R} \\x&{\underset {g}{\mapsto }}&g(x)=\displaystyle {\frac {1}{(2x+1)^{3}}}\\\end{array}}$

Solution

Le schéma est ${\begin{array}{ccccl}{\mathcal {D}}&\rightarrow &?&\rightarrow &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\color {blue}2x+1&{\underset {\color {red}f}{\mapsto }}&\displaystyle {\color {red}{\frac {1}{\left(\color {blue}2x+1\color {red}\right)^{3}}}}\\\end{array}}$

et se ramène à ${\begin{array}{ccl}{\mathcal {D}}&\rightarrow &\mathbb {R} \\x&{\underset {g}{\mapsto }}&g(x)=\displaystyle {\color {red}{\frac {1}{\left(\color {blue}2x+1\color {red}\right)^{3}}}}\\\end{array}}$

La fonction ƒ est définie par $f:X\mapsto \cdots$ sur le domaine $\cdots$ . Compléter dans le schéma l'emplacement « ? » avec cette nouvelle donnée.

$ax+b=\cdots$

En déduire pour quelle(s) valeur(s) de x la fonction g n’est pas définie. En déduire le domaine ${\mathcal {D}}$

Vérifier la dérivabilité.

Solution

La fonction ƒ est définie par $f:X\mapsto {\frac {1}{X^{3}}}$ sur le domaine $\mathbb {R} ^{*}$

${\begin{array}{ccccl}{\mathcal {D}}&\rightarrow &\mathbb {R} ^{*}&\rightarrow &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\color {blue}2x+1&{\underset {\color {red}f}{\mapsto }}&\displaystyle {\color {red}{\frac {1}{\left(\color {blue}2x+1\color {red}\right)^{3}}}}\\\end{array}}$

$ax+b=2x+1$

Soit $x\in \mathbb {R}$ ${\begin{aligned}(2x+1)^{3}=0&\Leftrightarrow 2x+1=0\\&\Leftrightarrow x=-{\frac {1}{2}}\end{aligned}}$

On en déduit que la fonction g est définie sur le domaine ${\mathcal {D}}=\mathbb {R} \backslash \left\{-{\frac {1}{2}}\right\}$

ƒ est dérivable sur $\mathbb {R} ^{*}$ , donc g est dérivable sur ${\mathcal {D}}$ .

Par ailleurs, pour tout $X\in \mathbb {R} ^{*},~f'(X)=-{\frac {3}{X^{4}}}$

Enfin, on applique la formule du théorème :

Pour tout

x\in \cdots ,~g'(x)=\cdots

Solution

Pour tout

x\in {\mathcal {D}}

:

${\begin{aligned}g'(x)&=a\cdot f'(ax+b)\\&=2\cdot \left(-{\frac {3}{(2x+1)^{4}}}\right)\\&={\frac {-6}{(2x+1)^{4}}}\end{aligned}}$

Pour tout $x\in {\mathcal {D}},~g'(x)={\frac {-6}{(2x+1)^{4}}}$

Exemple 5

Soit g la fonction définie sur un domaine ${\mathcal {D}}$ par $g:x\mapsto {\sqrt {5x+3}}$

Le schéma est ${\begin{array}{ccccl}{\mathcal {D}}&\rightarrow &?&\rightarrow &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\cdots &{\underset {f}{\mapsto }}&\cdots \\\end{array}}$

et se ramène à ${\begin{array}{ccl}{\mathcal {D}}&\rightarrow &\mathbb {R} \\x&{\underset {g}{\mapsto }}&g(x)={\sqrt {5x+3}}\\\end{array}}$

Solution

Le schéma est ${\begin{array}{ccccl}{\mathcal {D}}&\rightarrow &?&\rightarrow &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\color {blue}5x+3&{\underset {\color {red}f}{\mapsto }}&\color {red}{\sqrt {\color {blue}5x+3}}\\\end{array}}$

et se ramène à ${\begin{array}{ccl}{\mathcal {D}}&\rightarrow &\mathbb {R} \\x&{\underset {g}{\mapsto }}&g(x)=\color {red}{\sqrt {\color {blue}5x+3}}\\\end{array}}$

La fonction ƒ est définie par $f:X\mapsto \cdots$ sur le domaine $\cdots$ . Compléter dans le schéma l'emplacement « ? » avec cette nouvelle donnée.

$ax+b=\cdots$

Solution

La fonction ƒ est définie par $f:X\mapsto {\sqrt {X}}$ sur le domaine $[0;+\infty [$

${\begin{array}{ccccl}{\mathcal {D}}&\rightarrow &[0;+\infty [&\rightarrow &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\color {blue}5x+3&{\underset {\color {red}f}{\mapsto }}&\color {red}{\sqrt {\color {blue}5x+3}}\\\end{array}}$

$ax+b=5x+3$

Étudier le signe de l’expression $5x+3$ . En déduire le domaine ${\mathcal {D}}$

Solution

Soit $x\in \mathbb {R}$ ${\begin{aligned}5x+3\geq 0&\Leftrightarrow 5x\geq -3\\&\Leftrightarrow x\geq -{\frac {3}{5}}\end{aligned}}$

On en déduit que la fonction g est définie sur le domaine ${\mathcal {D}}=\left[-{\frac {3}{5}};+\infty \right[$

Vérifier la dérivabilité.

Solution

ƒ est n'est dérivable que sur $\color {red}]\color {black}0;+\infty [$

g n'est donc dérivable que si $ax+b\not =0$ , c'est-à-dire si $x\not =-{\frac {3}{5}}$

Donc g est dérivable sur $\color {red}\left]\color {black}-{\frac {3}{5}};+\infty \right[$

Par ailleurs, pour tout $X\in ]0;+\infty [,~f'(X)={\frac {1}{2{\sqrt {X}}}}$

Enfin, on applique la formule du théorème :

Pour tout

x\in \cdots ,~g'(x)=\cdots

Solution

Pour tout

x\in \left]-{\frac {3}{5}};+\infty \right[

:

${\begin{aligned}g'(x)&=a\cdot f'(ax+b)\\&={\frac {5}{2{\sqrt {5x+3}}}}\\\end{aligned}}$

Donc, pour tout $x\in \left]-{\frac {3}{5}};+\infty \right[,~g'(x)={\frac {5}{2{\sqrt {5x+3}}}}$

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